Тема 3.2. Аналітична геометрія

3.14. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (-2; 3) і паралельно до вектора = (2; -5). Записати параметричне рівняння і рівняння у відрізках на осях. Побудувати цю пряму.

3.15. Дано координати вершин трикутника А (1; -2), В (-1; 4) та С (3; -2). Скласти рівняння сторони АВ, медіани АМ та прямої, що проходить через точку В паралельно до АС.

3.16. Дано координати вершин трикутника А (-5; -5), В (1; 7) та С (5; -1). Скласти рівняння сторін і рівняння медіан трикутника.

3.17. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку А (2; -3) паралельно до осей координат.

3.18. Знайти точки перетину прямої 2х – 3у – 12 = 0 з осями координат. Записати рівняння у відрізках на осях. Побудувати цю пряму.

3.19. Записати канонічне рівняння прямої, якщо її параметричне рівняння має вигляд:

3.20. Записати рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку (-1; 8).

3.21. Визначити площу та периметр трикутника, утвореного прямою 3 х - 4 у – 12 = 0 і осями координат.

3.22. Знайти довжину відрізка прямої 3х + 2у = 12 = 0, що міститься між осями координат.

3.23. Скласти рівняння прямої, що проходить через:

1) точку А (-2; 1) і паралельно до прямої 2х + у = 3;

2) через точку А (3; -1) і перпендикулярно прямій х – 2у = 4.

3.24. Пряма проходить через точки А (5; 1) та В (-2; 3). Знайти відрізки, що відтинає пряма на осях координат.

3.25. Скласти рівняння серединного перпендикуляра до прямої АВ, якщо:

1) А (3; -2), В (5; - 4); 2) А (2; 1), В (6; 5)

3.26. Знайти кутовий коефіцієнт прямої 2х – 3у + 5 = 0.

3.27. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М (-1; 3) і:

1) паралельно прямій х – 5у + 2 = 0;

2) перпендикулярно прямій 3х – у + 4 = 0

3.28. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих х – у + 4 = 0 та 2х – 3у + 6 = 0 та:

1) паралельно прямій 5х – 2у + 6 = 0;

2) паралельна до осі Ох;

3) паралельна до осі Оу;

4) перпендикулярна прямій 3х – 2у + 1 = 0.

3.29. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А (-1; 2) з напрямним вектором = (1; 3). Знайти кутовий коефіцієнт прямої.

3.30. Знайти кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки А (3; 5), В (-2; 4)

3.31. Пряма проходить через середину відрізка прямої 3х – 2у – 12 = 0, що лежить між осями координат, перпендикулярно цій прямій. Скласти її рівняння.

3.32. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку В (-2; 4) і утворює кут 135⁰ з віссю Ох. Знайти довжину відрізка, що відтинає пряма на осі Оу.

3.33. Дві прямі перетинаються в точці А (2; -1). Одна з них проходить через початок координат, а друга – через точку В (5; 1). Знайти кут між цими прямими.

3.34. Пряма задана рівнянням . Вказати довільну точку цієї прямої та її нормальний вектор.

3.35. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А і перпендикулярно вектору = (2; 5), якщо точка А симетрична точці К (3; -4) відносно осі Ох.

3.36. Дані вершини трикутника А (1; 2), В (5; 10), С (11; 4). Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини В.

3.37. Дані вершини трикутника А (3; 4), В (8; 12), С (11; 8). Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини В.

3.38. Дані вершини трикутника А (–3; 3), В (4; 4), С (–1; 12). Скласти рівняння прямої, що проходить через точку В паралельно стороні АС.

3.39. В трикутнику з вершинами в точках М₁ (-4; -3), М₂ (-3; 4) та М₃ (2; 1) проведена медіана М₂Д. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М₂ перпендикулярно медіані М₂Д.

3.40. Пряма задана параметричним рівнянням . Знайти кутовий коефіцієнт прямої.

3.41. Записати загальне рівняння прямої і вказати координати нормального вектора, якщо

3.42. Пряма задана рівнянням 2х – 3у – 6 = 0. Записати канонічне, параметричне рівняння прямої, та рівняння прямої у відрізках на осях.

3.43. Дві протилежні вершини квадрата лежать в точках А (-2; 2) та С (3; 7). Скласти рівняння прямих, що містять діагоналі квадрата.

3.44. При якому значенні «а»прямі та перпендикулярні?

3.45. При якому значенні «b» прямі та паралельні?

3.46. Знайти віддаль від точки М₀ (; 9) до прямої 4х + 3у – 8 = 0.

3.47. Встановити, які з пар прямих паралельні, співпадають або перетинаються, в останньому випадку знайти їх точку перетину:

1) х + у – 3 = 0 і 2 х + 3 у – 8 = 0

2) у = х + 5 і 2 х - 2 у + 3 = 0

3) у = і

3.48. Знайти координати центра і радіус кола:

1) х² + у² + 6х – 10у + 13 = 0; 2) х² + у² – 8х + 2у – 64 = 0

3.49. Записати рівняння кола з центром у точці і з радіусом, що дорівнює 2. Побудувати це коло.

3.50. Записати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку М(5;0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.

3.51. Рівняння еліпса має вигляд 36х²+100у²-3600=0. Знайти координати фокусів та фокальну відстань.

3.52. Знайти координати вершин, фокусів і ексцентриситет еліпса:

1) 24х² + 49у² = 1176; 2) 16х² + 25у² = 400

3.53. Скласти рівняння еліпса, якщо:

1) його ексцентриситет = 0,28, а фокусами є точки (-5; 0) та (5; 0);

2) фокусами є точки , а велика вісь дорівнює 6;

3) відстань між фокусами дорівнює 12, а ексцентриситет = 0,6;

4) фокальна відстань дорівнює 6, а велика вісь 10;

5) фокальна відстань дорівнює 8, а ексцентриситет = 0,8.

3.54. Знайти координати точок перетину еліпса з прямою х + 2у - 14=0.

3.55. Через центр еліпса проведена пряма, що є бісектрисою І та ІІІ координатних кутів. Знайти довжину відрізка прямої, що належить колу.

3.56. Скласти рівняння гіперболи, якщо:

1) ексцентриситет = 1,5, а величина с = 3;

2) дійсна вісь дорівнює 6, а рівняння асимптот ;

3) координати фокусів (-20; 0) та (20; 0), а ексцентриситет = ;

4) відстань між фокусами 18, а рівняння асимптот ;

5) один з фокусів знаходиться в точці (-5; 0), а рівняння асимптот .

3.57. Скласти рівняння рівносторонньої гіперболи, що проходить через точку А (5; -3).

3.58. Знайти: а) довжини півосей; б) координати фокусів; в) координати вершин; г) рівняння асимптот для гіпербол:

1) 9х² – 16у² – 144 = 0; 2) 4х² - 5у² = 20.

3.59. Фокуси гіперболи співпадають з фокусами еліпса 9х² + 25у² – 225 = 0. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет = 2.

3.60. Знайти асимптоти гіперболи. Побудувати гіперболу, визначити ексцентриситет:

1) 9х² - 25у² = 225; 2) х² – у² = 9

3.61. Записати рівняння гіперболи, якщо відстань від однієї з вершин гіперболи до фокусів становить 9 та 1.

3.62. Знайти координати фокуса і записати рівняння директриси параболи, якщо її рівняння має вигляд:

1) х² = 8у; 2) у² = -12х; 3) х² = 4у; 4) у² = 20х

3.63. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо:

1) рівняння директриси х = 4;

2) парабола проходить через точку А (2; -5);

3) рівняння директриси 2у + 5 = 0.

3.64. Скласти рівняння параболи, якщо:

1) парабола розміщена вище осі Ох і проходить через точку А (-5; 2);

2) координати фокуса (-2; 0).

3.65. Записати рівняння директриси та осі параболи:

1) х² + 8х + 16у + 48 = 0; 2) у² – 4у – 24х + 28 = 0

3.66. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку А (-1; 2; -3) і паралельно вектору = (2; -2; 1)

 

3.67. Скласти канонічне та параметричне рівняння прямої, що проходить через точку М₁ (3; -5; 2) та М₂ (1; -1; -4). Побудувати цю пряму.

3.68. Записати рівняння прямої, що проходить через точки:

1) А (– 1; 2; 3), В (2; 6; – 2); 2) М₁ (3; 1; 0), М₂ (-2; -5; 4)

3.69. Дано координати вершин піраміди А (3; 1; 4), В (-1; 6; 1), С (-1; 1; 6) та S (0; 4; -1). Скласти рівняння сторін піраміди.

3.70. Дано координати вершин трикутника: А (1; -2; -4), В (1; 6; -8) та С (-7; 11; 6). Записати рівняння медіани СМ.

3.71. Скласти рівняння площини, яка проходить через:

1) початок координат і точки Р (4; -2; 1) і Q (2; 4; -3);

2) точку М₀ (3; 4; -11) і паралельно до площини Z = 0;

3) точку М₀ (2; 3; 5) і перпендикулярно до вектора = (4; 6; 0);

4) точки М₁ (-2; 3; 5), М₂ (4; -3; 0) та М₃ (0; 6; -5);

5) точки

3.72. Знайти площу трикутника, що відтинається від координатного кута УоZ площиною 2х – 3у + 6z – 24 = 0.

3.73. Знайти відстань від точки М (1; 2; 4) до площини 2х + 2у – z – 11 = 0.