Передаточное отношение простых зубчатых передач

Простой зубчатой передачей будем называть трехзвенный зубчатый механизм, состоящий из двух зубчатых колес и стойки. Рассмотрим, как можно выразить передаточное отношение в простых зубчатых передачах при различном расположении осей составляющих их колёс в пространстве.

П е р е д а ч а с п а р а л л е л ь н ы м и о с я м и к о л ё с (ц и л и н д р и ч е с к а я п е р е д а ч а). В зубчатых передачах с параллельными осями колёс существуют окружности, которые при передаче движения перекатываются друг по другу без скольжения. Строго говоря, если иметь в виду размеры колёс в направлении их осей (ширину ободов), то на самом деле имеет место касание не окружностей, а цилиндров по их образующим. Однако в сечении этих цилиндров любой плоскостью, перпендикулярной их осям, имеет место одна и та же картина касания окружностей. Все свойства передачи определяются свойствами тех элементов, которые располагаются в указанной плоскости (поэтому такая передача называется плоской). Касающиеся друг друга окружности называются центроидными, т. к. окружность одного колеса является геометрическим местом центров мгновенного относительного вращения другого колеса. На рис. 2.2 показана такая передача. В ней колесо 1 вращается вокруг центра O ₁, а колесо 2 – вокруг центра O ₂. Их центроидные окружности касаются друг друга в точке П. Направления вращения колёс указаны стрелками. В точке П окружные скорости колёс одинаковы и определяются произведением угловых скоростей колёс на радиусы центроидных окружностей ₁ и ₂, т. е. и соответственно. Так как эти скорости равны, то имеет место равенство

,

из которого следует, что передаточное отношение может быть выражено через отношение радиусов центроидных окружностей, то есть

 

.

Знаки «+» и «–» перед отношением радиусов появились в связи с тем, что, в отличие от угловых скоростей, радиусы не могут быть отрицательными, и знак «–» относится к данной схеме, а знак «+» имел бы место при внутреннем зацеплении колёс.

Если центроидами являются делительные окружности, то их радиусы можно выразить следующим образом. Длины центроидных окружностей S ₁ первого колеса и S ₂ второго колеса определяются выражениями соответственно:
S ₁ = 2· π· ₁ = p· ₁ и S ₂ =2· π· ₂ = p · ₂, где p – шаг колёс по делительной окружности, т. е. расстояние между одноимёнными точками двух соседних зубьев, измеренное по делительной окружности, ₁ и ₂ – числа зубьев данных колёс, (то же, что число шагов).

Решим эти выражения относительно радиусов ₁ и ₂:

 

₁ = p · z ₁ /( 2 · π), ₂ = p · z₂/(2 · π).

 

Отношение шага по делительной окружности к числу π называется модулем зубчатого колеса, который обозначается латинской буквой m. Модуль, как и шаг, является единым для колёс, находящихся в зацеплении. Он измеряется в миллиметрах, и через него выражаются все размеры зубьев (величины модулей определяются стандартом). Подставив теперь вместо радиусов в ранее записанном выражении передаточного отношения их найденные выше значения, после сокращения на 2 и m, получим окончательно

.

То есть, передаточное отношение простой зубчатой передачи с параллельными осями колёс может быть выражено как обратное отношение чисел зубьев колёс.

П е р е д а ч а с п е р е с е к а ю щ и м и с я о с я м и к о л ё с (к о н и- ч е с к а я п е р е д а ч а). В конической передаче зубья колёс нарезаны на усечённых конусах 1 и 2, касающихся друг друга по общей образующей OП и перекатывающихся друг по другу вокруг неё без скольжения (рис. 2.3). Колёса вращаются относительно стойки с угловыми скоростями и вокруг осей, совпадающих с осями конусов. Половинные углы конусов отмечены буквами и соответственно, сумма этих углов образует межосевой угол передачи , то есть.

.

Рисунок 2.3

 

Основания конусов с радиусами и касаются друг друга в точке П и имеют в ней одинаковые скорости: и . Из равенства окружных скоростей имеем . Так как оси конусов перпендикулярны их основаниям, то можно записать и . Следовательно,

.

Длины окружностей радиусов и равны соответственно и , где – шаг зубчатых колёс, и – числа зубьев колёс. Подытоживая все выкладки, записываем окончательно все варианты выражения передаточного отношения в данной передаче: .

П е р е д а ч а с п е р е к р е щ и в а ю щ и м и с я о с я м и к о л ё с (пе-р е д а ч а в и н т о в ы м и к о л ё с а м и). В этой передаче зубья колёс нарезаны на круглых цилиндрах, и оси колёс перекрещиваются под межосевым углом , в общем случае не равным 90º, и отстоят друг от друга на кратчайшее расстояние (рис. 2.4 а). При этом зубья образуют относительно осей колёс углы – первого колеса и – второго колеса (рис. 2.4 б), так что имеет место равенство .

 

Окружные скорости колёс в этой передаче, разные по величине и по направлению, определяются формулами: и . Так как межосевой угол в передаче равен , а окружные скорости колёс в точке П перпендикулярны осям колёс, то между ними угол равен также , что видно на рис. 2.4 б. На этом рисунке штриховой линией показана линия контактирующих зубьев колёс. Проведём через точку П этой линии перпендикуляр к ней и спроецируем на него скорости и , получив их нормальные составляющие, совпадающие друг с друом по величине и направлению, то есть . Так приходим к равенству , из которого следует

.

Последний член этого равенства говорит о том, что на передаточное отношение можно влиять не только радиусами цилиндров контактирующих колёс, но и углами наклона зубьев. Посмотрим, как ещё можно выразить передаточное отношение данной передачи. Для этого обратимся к рис. 2.4 в, на котором показано колесо с косыми зубьями, образующими угол с осью колеса. Рассечём колесо плоскостью, перпендикулярной к линии зуба, след которой отмечен линией NN на рисунке. В этой плоскости шаг колеса обозначен буквой p. Он одинаков у обоих колёс, следовательно, модули m колёс в этой плоскости также одинаковы. В торцевой плоскости колеса, перпендикулярной его оси, как видно из рисунка, шаг определяется отношением . Эти выкладки и рассуждения справедливы для обоих колёс, поэтому далее можно записать выражения для радиусов цилиндров таким образом

и .

Подставив эти выражения в предыдущее соотношение, после сокращений получаем окончательно

.

Таким образом, мы убедились, что в простой зубчатой передаче, независимо от расположения осей её колёс в пространстве, передаточное отношение (или передаточное число) может быть определено как отношение числа зубьев колеса, принятого в качестве ведомого к числу зубьев колеса, принятого в качестве ведущего.

Частным случаем зубчатой передачи винтовыми колёсами является червячная передача, в которой одно из колёс может иметь всего один зуб и называется червяком. При одном зубе – это однозаходный червяк, при двух зубьях – двухзаходный червяк и т. д. Другое колесо передачи называется червячным колесом. В этой передаче передаточное отношение определяется по общему правилу, изложенному выше, то есть передаточное отношение от червяка (он всегда служит ведущим) к червячному колесу равно отношению числа зубьев колеса к числу заходов червяка.