Лекция 10. Основные законы распределения НСВ.

Опр1. Говорят, что НСВ Химеет равномерный закон распределения на отр. [ a; b], если ее плотность вер-ти имеет вид f(x)= {1/(b-a), a<=x<=b}{ 0, x<a или x> b}

Теорема 1. Фнкция распределения НСВ Х, распределенная по равномерному закону имеет вид F(x)={0, x<=a}{x-a/b-a, a<x<=b}{1, x>b}.

Док-во. Функция распределения F(x) = [cв-во 4 пл-ти вер-ти]=_-∞ ∫^x f(t)dt. 1. x<=a,=> F(x) = _-∞ ∫^xf(t) dt=_-∞ ∫^x0dt=0. 2.a<x<=b, => F(x) = _-∞ ∫^xf(t) dt=[_-∞ ∫^х=_-∞ ∫^a+ _a ∫^x]= _a∫^xf(t)dt= _a ∫^x (1/b-a)dt=(1/b-a)_a ∫^xdt=(1/b-a)t│_a^b=x-a/b-a. 3. x>b, => F(x) = _-∞ ∫^xf(t) dt=[_-∞ ∫^x= _-∞∫^a+ _a ∫^b+ _b ∫^x]= _a ∫^bf(t)dt= _a ∫^b (1/b-a)dt =1/b-a _a ∫^bdt =(1/b-a)t│_a ^b=b-a/b-a=1.

Теорема 2. МО и дисперсия CВ Х, распределенной по равномерному закону соответственно равны М(Х)= (а+b)/2; D(X)=(b-a)²/12.

Док-во: M(X)=^def_-∞∫^∞xf(x)dx=!_-∞∫^∞=_-∞∫^a(=0)+_a∫^b+_b∫^∞(=0)!= _a∫^bxdx/b-a=1/b-a _a∫^bxdx=1/b-a(x²/2)!^b_a=b²-a²/2(a-b)=a+b/2

D(X)=^def_-∞∫^∞(x-M(x))^2f(x)dx=!_-∞∫^∞=_-∞∫^a(=0)+_a∫^b+_b∫^∞(=0)!=_a∫^b ((x-(b+a)/2)^2)dx/b-a=1/b-a_a∫^b((x-(b+a)/2)^2)dx= (b-a)^2/12

Замечание! Равномерное распределение не имеет моды, а медиана совпадает с МО, т.е. М_е(Х) =(a+b)/2

(ошибки измерения физ велечин при окр рез набл до ближайшего деления)

Опред №2 Говорят, что НСВ Х имеет показательный (экспоненциальный) закон расп-ния с параметром λ, если ее плотность вер-ти имеет вид f(x)={ λ*e^-λx, x>=0} { 0, x<0}.

Теорема 3. Функция расп-ния CВ Х, распределенной по показ. закону, имеет вид F(X)={ 1-e^-λx, x>=0} { 0, x<0 }.

Док-во: _-∞∫^xf(t)dt Пусть x<0 =>_-∞∫^xf(t)dt=_-∞∫^x0dt=0. Пусть x≥0 =>_-∞∫^xf(t)dt=!_-∞∫^x=_-∞∫⁰(=0)+₀∫^x!= ₀∫^xf(t)dt=₀∫^xλe^-λxdt=λ₀∫^x e^-λxdt=λ(e^-λx/-λ)!^x₀=-(e^-λt)!^x₀=-(e^-λx-1)=(-e)^-λx-1

 

Теорема 4. МО и дисперсия CВ Х,распределенной по показ. закону, соответственно равны М(Х)=1/λ; D(X)= 1/ λ².

Док-во: Проверим для МО. M(X)=^def_-∞∫^∞xf(x)dx=!_-∞∫^∞=_-∞∫⁰(=0)+₀∫^∞!=₀∫^∞xλ e^-λxdx=^def lim _{b→∞ 0}∫^bλxe^-λxdx. ₀∫^bλxe^-λxdx=!интегр по частям!=!u=λx,dv=e^-λxdx, v=∫e^-λxdx=e^-λx/-λ, du=λdx!=[λx*e^-λx/-λ]!^b₀-₀∫^be^-λx λdx /-λ=-[x e^-λx]!^b₀+₀∫^be^-λxdx=-[be^-λb-0]+(e^-λx/-λ)!^b₀= -be^-λb-1/λ (e^-λb-1)= -be^-λb-e^-λb/λ+1/2 =>M(X)=lim _b→∞[-be^-λb-e^-λb/λ+1/2]=1/λ

Опр3 (норм закон распределения). Говорят, чтоНСВ Х имеет нормальный закон расп-ния (закон Гаусса) с параметрами δ и μ, если ее плотность вероятности имеет вид f(x) = (1/√2π* δ)* e^-(x-μ)^2/2δ^2, (δ>0)/

Замечание. Функция распр-ния CВ Х, распред-ная по норм. закону имеет вид F(X)=(1/√2π* δ)_--∞∫^xe^-(t-μ)^2/2δ^2dt.

Теорема 5. МО, дисперсия и СКО СВ Х, распр-ной по норм. закону соответственно равны М(Х)=μ, D(X)= δ², δ(X)= δ

Замечаение! Утверждение «CВ Х имеет норм. распределение с параметрами μ и δ» кратко записывается Х? N (μ, δ)

Опр4. Норм.закон распределения CВ Х с парметрами μ=0, δ=1,т.е. N(0;1) назыв. стандартным или нормированным.

Замечание! Плотность вер-ти и ФР СВ Х, распределенной по нормированному закону, имеют вид f₀(x)=(1/√2π)e^-x^2/2 ; F(X) =_-∞∫^x (1/√2π) е^-t^2/2dt. Эти функции табулированы (сущ-ют таблицы их значений).

Свойства CВ Х распред-ной по нормированному закону (X? N(μ;δ))

1.Вер-ть попадание CВ Х в отрез. [ a;b] P{a<=x<=b}=F₀(b-μ/δ)- F₀(а-μ/δ)

2. вер-ть того, что CВ Х отличается от своего МО по абс. вел-не не больше, чем на ε P{X-μ<=ε}=2F₀(ε/δ)-1.

 

Лекция 11.О1. Упорядоченный набор (x1, x2,.., xn) СВ Х1, Х2, …, Хn называется системой n случайных величин или многомерной (nмерной) случайной величиной.

О2. Одномерные СВ Х1, Х2, …,Хn называются компонентами или составляющими n- мерной СВ (Х1, Х2, …, Хn)

Зам! Свойство систем Св многомерной Св не исчерпывается свойствами её компонентов, а включает также и взаимные связи (зависимости между этими компонентами). В дальнейшем будем рассматривать только 2 мерную СВ.

Типы 2 мерных Случайных Величин (X,Y)

Дискретная – если возможные значения (X,Y) образуют конечное или счётное множество.

Непрерывная – если возможные значения (X,Y) сплошь заполняют некоторую область на плоскости.

Смешанная - если возможные компоненты X и Y являются одномерными СВ разных типов.

З! Тип 2 мерной СВ (X,Y) фактически определяется типом её компонентов X иY

т.е. если оба компонента x и y ДСВ, то и 2 мерная СВ (X,Y) также будет дискретной.

О3 Матрицей распределения называется матрица вида:

	Y1	Y2	…	Yn
X1	P11	P12	…	P1m
X2	P21	P22	…	P2m
…	…	…	…	…
Xn	Pn1	Pn2	…	Pnm

 

Свойства Вероятности

=

=

Зам! Свойства 2 и 3 означают, что если задана матрица распределения 2мерной ДСВ (X,Y), то можно найти ряды распределения одномерных СВ Х и Y

Опр4 Функция распределения 2мерной СВ (X,Y) называется вероятность совместного выполнения 2х неравенств:

т.е. F(x,y)=P

Зам! Событие означает произведение событий

Функция распределения двумерной ДСВ (X,Y)

Если СВ (x,y) является дискретной, то её функция распределения находится по формуле

; где суммируются все вероятности для которых ,

Свойства функции распределения 2 мерной СВХ

– не убывающая функция по каждому аргументу т.е.

, if

Fx(x)

Fy(y) где Fx(x) и Fy(y)функции распределения СВ Х и Y соответственно.

 

Лекция 12

Опр 1. Плотностью вероятности 2мерной НСВ (X,Y) называется вторая смешанная частная производная её функции распределения:

Опр 2. График плотности вероятности 2 мерной НСВ называется поверхностью распределения.

Свойства плотности вероятности двумерной НСВ

f(x,y)больше или равно 0

Вероятность попадания случайной точки () в область D равна 2му интегралу от плотности вероятности по этой области т.е.

Функция распределения двумерной НСВ может быть выражена через её плотность вероятности по формуле:

Условия нормировки: 2ой несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной НСВ равен единице т.е.

=1

Геометрически данное свойство означает, что объем тела, ограниченного сверху поверхностью распределения, а снизу плотностью x по y равна 1

)= )= где и ) плотность вероятности СВ(X,Y) соответственно.

 

Равномерное распределение 2мерной НСВ

Опр3. Говорят, что двумерное НСВ (X,Y) имеет равномерное распределение в области D, если её плотность вероятности имеет вид:

f(x,y)=

где SD – площадь P

замечание: Основные свойства равномерного распределения состоит в том,что для него применимо понятие “Изометрической вероятности” т.е. если область g содержится в области D, то нетрудно показать, что

где площадь g

 

Теорема (о независимости 2 СВ)

СВ независимы функция распределения двумерной СВ (X,Y) равна произведению функций распределения составляющих т.е.

)= F(x,y), ) функции распределения СВ x и y соответственно.

 

Доказательство:

Необходимо:

Пусть СВ x и y независимы, тогда

)

Достаточно: Пусть )

Тогда из определений функций распределения следует равенство: , которое и означает, что СВ X и Y независимы ч.т.д.

Следствие:Необходимым и достаточным условием независимости 2ух непрерывных СВ X и Y образующих систему (x,y) является равенство: )= F(x,y)

 

Лекция 13

Опр. 1. Условным законом распределения СВ Х входящей в систему (X,Y) называется её закон распределения вычисленный при условии, что другая СВ Y приняла определенное значение.

Замечание. Аналогично определяется условный закон распределения СВ Y входящей в систему (X,Y).

Обозначим через условную вероятность, того что СВ Х примет значение при условии, что СВ Y приняла значение

Замечание! Условные вероятности определяются равенством:

Опр. 2. Условным законом распределения составляющий x при называют совокупность условных вероятностей Вычисленных предположений, что событие уже наступило.

Замечание. Аналогично находят условный закон распределения составляющий Y

Замечание. Сумма вероятностей условного распределения равна 1. Док-во:

Аналогично доказывается, что при фиксированным . Это свойство распределений используют для контроля вычислений.

Опр.3. Условной плотностью вероятности составляющей X при заданном значении Y=y называется отношение плотности вероятности двумерной непрерывной СВ (X,Y) к плотности вероятности составляющей Y т.е. Аналогично определяется условная плотность вероятности составляющей Y при заданном значении X=x Формулы для вычисления условных плотностей вероятностей. Если известна плотность вероятности f(x,y) двумерной непрерывной СВ (X,Y), то условные плотности вероятности составляющих X и Y могут быть найдены по формулам Замечание! Условные плотности вероятности обладают всеми свойствами безусловной плотности вероятности.

 

 

Лекция 14

Опр. 1. МО двумерной ДСВ (X,Y) называется совокупность двух МО M(X) и M(Y) определяемых равенствами , где .

Опр. 2. МО двумерной НСВ с плотностью вероятности f(x,y) называется совокупность двух МО M(x) и M(y) определяемые равенствами . Опр. 3. Дисперсией двумерной ДСВ (x,y) называется совокупность двух дисперсий D(x) и D(y) определяемых равенствами .

Опр. 4. Дисперсией двумерной НСВ (X,Y) с плотностью вероятности f(x,y) называется совокупность двух дисперсий D(x) и D(y) определяемых равенствами З! МО M(x),M(y) и дисперсии D(x),D(y) СВ X и Y входящих в систему (X,Y) могут быть найдены по обычным формулам используемых для одномерных СВ. Для этого необходимо предварительно перейти от закона распределения двумерной СВ (X,Y) соответственно к одномерным законам распределения СВ X и Y

Опр.5.Ковариацией СВ X и Y называется МО произведения отклонений этих величин. Обозначается cov (X,Y) или . Замечание. Ковариация характеризует взаимную зависимость СВ X и Y - Для ДСВ -НСВ

Замечание! Ковариацию часто удобно вычислять по формуле, которая получается из определения ковариации на основании свойств МО . Если СВ независимы то k=0. Опр.6. Коэф. корреляции

СВ X и Y называется выражение . Замечание! Для любых СВ X и Y выполняется соотношение , при этом если r=0, то СВ X и Y называются некореллированы, в противном случае – кореллированы.