Линейно-векторное пространство. Базис. Разложение вектора по базису.

 

Опр. Линейно-векторное пространство (ЛВП) – это такое множество векторов (), для которых определены операции сложения и умножения на действительное число и которые удовлетворяют аксиомам линейности 1 - 7 (п.1.2).

ЛВП называется n-мерным (обозначается Rⁿ), если в нем максимальное число линейно независимых векторов равно n, а любое множество (n+1) векторов будет линейно зависимым. Поскольку наибольшее число линейно независимых векторов на прямой равно одному, на плоскости - двум, а в пространстве - трем, то размерности этих ЛВП соответственно равны 1, 2 и 3 (обозначение: R¹, R², R³).

NB. Множество векторов называется упорядоченным, если каждый из них имеет свой порядковый номер. Система векторов – это всегда упорядоченно е множество векторов.

Опр. Базисом в n-мерном ЛВП (Rⁿ) может быть любая система n линейно независимых векторов. Обозначение n-мерного базиса: { ; ;…; }.

Количество базисных векторов всегда равно размерности данного ЛВП. Так как базисные векторы – линейно независимы, то:

а) базисом на прямой является любой ненулевой вектор этой прямой;

б) базисом на плоскости является любая пара упорядоченных линейно независимых (неколлинеарных) векторов этой плоскости, приведенных к общему началу;

в) базисом в пространстве является любая тройка упорядоченных линейно независимых (некомпланарных) векторов, приведенных к общему началу.

NB. В любом ЛВП может быть несколько базисов.

NB. Любой вектор данного ЛВП можно только единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов.

Теорема (о разложении вектора по базису на плоскости)

На плоскости любой вектор можно только единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных (неколлинеарных) векторов и :

= + = (1.4)

Запись (1.4) означает, что вектор разложен по базису { ; }. Числа и называются аффинными координатами (компонентами) вектора в базисе { ; } и они же являются аффинными координатами точки А в базисе { ; }. Для координат вектора принято обозначение = (; ). Координаты точки А обозначаются так: А(; ).

Доказательство.

1) Пусть (, , )Îp₁, где p₁ - плоскость, причем # . Приведем все три вектора к общему началу О и проведем прямые, являющиеся продолжением векторов и . Получим координатные оси Ох и Оу, сонаправленные векторам и соответственно. При этом длина базисного вектора будет единицей длины соответствующей оси (рис.1.5).

 

у

А

А₂

 

 

х

О А₁

 

Рисунок 1.5

 

Построенная система координат именуется аффинной системой координат с началом О и базисными векторами и . Она обозначается символом {O; ; } или { ; }. Через конец вектора проведем прямые, параллельные базисным векторам , и получим, что = ; = . Тогда = + .

2) Докажем однозначность коэффициентов и . Допустим, существует другое разложение вектора по базису { ; }, например, = + . Вычтем это равенство из равенства (1.4) и получим ( - ) + ( - ) = . Так как по условию векторы # , то по теореме 2 (п.1.3) эти векторы - линейно независимы. Тогда полученное равенство возможно лишь при условии Þ . Fin.

Теорема (о разложении вектора по базису в пространстве).

В пространстве любой вектор можно только единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных (некомпланарных) векторов , , :

= + + = (1.5)

Запись (1.5) означает, что вектор разложен по базису { ; ; }. Числа , и называются аффинными координатами (компонентами) вектора в базисе { ; ; } и они же являются аффинными координатами точки А в базисе { ; ; }. Для координат вектора принято обозначение = (; ; ). Координаты точки А обозначаются А(; ; ).

Доказательство.

1) Аналогично случаю на плоскости введем аффинную систему координат в пространстве: { ; ; } (рис.1.6).

А

 

z

y

 

A₃

A₂

x

O

A₁

 

Рисунок 1.6

 

Через конец вектора проведем прямые, параллельные базисным векторам , , и получим = ; = ; = . Тогда = + + .

2) Докажем однозначность коэффициентов , и . Допустим существует другое разложение вектора по базису { ; ; }, например, = + + . Вычтем это равенство из равенства (1.5) и получим ( - ) + ( - ) + ( - ) = 0.

Так как по условию векторы , , некомпланарны, то по теореме 3 (п.1.3) они - линейно независимы. Тогда последнее равенство возможно лишь при условии

Þ . Fin.

NB 1. Если векторы , , взаимно перпендикулярны и | |¹| |¹| |, то такая система векторов называется прямоугольной системой базисных векторов в пространстве.

NB 2. Если векторы , , взаимно перпендикулярны и | | = | | = | | = 1, то такая система векторов называется декартовой системой базисных векторов в пространстве. При этом векторы , , обозначаются соответственно символами , , .

Теорема 1. Два вектора = (; ; ) и = (; ; ) равны, если в одном и том же базисе равны их соответствующие координаты, то есть .

Теорема 2. Два вектора = (; ; ) и = (; ; ) коллинеарны, если в одном и том же базисе пропорциональны их соответствующие координаты, а именно

Þ

NB. Назначение любого базиса состоит в том, чтобы от линейных операций над векторами перейти к линейным операциям над их координатами.

 

Основные свойства аффинных координат.

1) При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство.

Пусть = + + = (; ; ) Þ k = k ( + + ) = (k ) + (k ) + (k ) = (k ; k ; k ). Fin.

2) При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

Доказательство.

Пусть = + + = (; ; ) и = + + = (; ; ).

Тогда + = ( + ) + ( + ) + ( + ) =( + ; + ; + ). Fin.

 

Пример 1. В базисе { ; ; } даны векторы =(1; 2; 0); =(-1; 1; 1); =(2; 0; 1), а в базисе { ; ; } дан вектор =(-1; 2; 1). Найти координаты вектора в базисе { ; ; }.

Решение. Согласно условию = - +2 + , где = +2 ; = - + + ; = 2 + . Следовательно, = -( +2 )+2(- + + )+(2 + ) = - +3 = (-1; 0; 3)

Ответ: = (-1; 0; 3) в базисе { ; ; }.

 

Пример 2. В базисе { ; ; } даны векторы =(0; 1; -2); =(2; 1; 1); =(1; 0; 1); =(2; 1; 3). Доказать, что векторы { ; ; } образуют базис и найти в этом базисе координаты вектора .

Решение. Если векторы , , образуют базис, то равенство нулю их линейной комбинации = 0 возможно лишь тогда, когда = 0. Найдем все возможные значения . Подставим в данную линейную комбинацию вместо векторов () их разложение по базису { ; ; }. Получим = + + = ( - 2 )+ + (2 + + )+ ( + ) = (2 + ) + ( + ) + (-2 + + ) = 0

Так как векторы , , образуют базис, то они линейно независимы. Следовательно, последнее равенство выполняется только тогда, когда равны нулю все коэффициенты при векторах , , , то есть имеет место однородная СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений):

По теореме Кронекера - Капелли, если число неизвестных n = r(A) = r(A|В), то такая однородная СЛАУ является совместной и определенной, то есть она имеет только тривиальное решение: " = 0 (). В этом случае векторы , , будут линейно независимыми и могут образовать базис. Чтобы доказать, что " = 0, для данной однородной СЛАУ составим расширенную матрицу и с помощью метода Гаусса приведем ее к ступенчатому (треугольному) виду.

NB. Из вида расширенной матрицы следует, что в ее 1-ом столбце записаны координаты вектора , во 2-ом – координаты вектора , в 3-ем – координаты вектора , а в 4-ом – столбце (столбце свободных членов) – координаты нулевого вектора .

 

~ ~ ~ ^-2 ~ ~ ~ Þ Þ = = = 0.

Так как " = 0 (), то { ; ; } - базис. Теперь в этом базисе найдем координаты вектора . Для этого запишем формальное разложение вектора по базису { ; ; }:

= + +

и вместо векторов , , , подставим разложение каждого из них по исходному базису { ; ; }. Получим: 2 + + 3 = ( -2 ) + (2 + + ) + ( + ) Þ {Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было сравнить коэффициенты при базисных векторах , , в обеих частях равенства.}Þ 2 + + 3 = (2 + ) + ( + ) + (-2 + + ) Þ

Для данной СЛАУ составим расширенную матрицу и с помощью метода Гаусса приведем ее к ступенчатому виду.

NB. Из вида расширенной матрицы следует, что в ее 1-ом столбце записаны координаты вектора , во 2-ом – координаты вектора , в 3-ем – координаты вектора , а в 4-ом – столбце (столбце свободных членов) – координаты вектора .

~ ~ ^-2 ~ ~ Þ Þ Þ Þ = -2 + 3 - 4 . Ответ: = -2× + 3× - 4×

 

Проекция вектора на ось.

 

Ось - это прямая с заданным на ней направлением. Положительное направление оси L задается ее ортом .

Опр. Углом между двумя векторами называется наименьший угол j, на который необходимо повернуть один вектор, чтобы он совпал с другим вектором по направлению. Поворот против хода часовой стрелки считается положительным, а по ходу часовой стрелки - отрицательным (рис.1.7).

 

 

L₂ L₂

 

_j ^j

L₁ L₁

 

а) б)

Рисунок 1.7

 

Очевидно, что 0 £ j < p.

NB. Угол между векторами и обозначается символом .

Пусть даны произвольный вектор = и ось L.

 

B B

 

A A

 

_j ^j

L L

A₁ B₁ B₁ A₁

a_L > 0 a_L < 0

 

а) б)

Рисунок 1.8

 

Опр. Проекция вектора = на ось L есть число, равное длине вектора , где точки А₁ и В₁ - это основания перпендикуляров, опущенных из начала А и конца В вектора на ось L (рис.1.8). Обозначение: a_L = пр_L . Проекция a_L берется со знаком (+), если направление вектора совпадает с направлением оси L, и осо знаком (-), если направление вектора противоположно направлению оси L. Таким образом, a_L =| | при ­­ Lи a_L = -| | при ­¯ L.Следовательно, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью: a_L = пр_L = | |×cosj

 

Основные свойства проекций.

 

1) Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол и равна нулю, если это