Вывод формулы для косвенных измерений момента

Тормозящей силы

 

Для оценки момента тормозящей силы воспользуемся энергетическими соотношениями. Поскольку силы трения являются диссипативными, то работа тормозящей силы А _т при переходе системы тело–груз из начального состояния в конечное равна

 

, (4.1)

 

где – механическая энергия системы тело–груз в начальном состоянии; – механическая энергия системы тело–груз в конечном состоянии.

Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий. В те моменты времени, когда система покоится, кинетическая энергия равна нулю и, следовательно, механическая энергия становится равной только потенциальной энергии системы. Такие состояния системы возникают в начальный момент времени, когда груз находится на отметке , и в тот момент, когда, опустившись вниз, груз за счет вращения тела поднимается до отметки (рис. 4.1). Если принять, что на высоте потенциальная энергия груза равна нулю, то приращение механической энергии для выбранных начального и конечного состояний системы равно

 

, (4.2)

 

где – расстояние между отметками и ; – расстояние между отметками и .

Будем считать, что момент тормозящей силы в основном связан с вращательным движением тела, т. е. тормозящей силой, действующей на груз, пренебрежем. Тогда элементарная работа момента тормозящей силы равна скалярному произведению

 

,

где – вектор момента тормозящей силы; – вектор бесконечно малого углового перемещения тела.

Оба вектора и направлены вдоль оси вращения, но в про-тивоположные стороны. Следовательно,

 

.

 

Тогда полная работа момента тормозящей силы, если предположить, что он постоянен, равна

 

, (4.3)

 

где – угол поворота тела вокруг оси при переходе системы из начального состояния в конечное (груз при этом перемещается от отметки до отметки ).

При движении груза вниз от отметки до отметки со шкива сматывается нить длиной . Учитывая, что длина окружности шкива равна и каждый оборот шкива соответствует углу радиан, найдем угол поворота шкива при движении груза вниз

 

[рад]. (4.4)

 

Очевидно, что при дальнейшем вращении тела до момента, когда груз остановится на отметке , оно повернется на угол

 

[рад].

 

Тогда общий угол поворота тела, соответствующий переходу груза от отметки до отметки , равен

 

[рад]. (4.5)

Подставляя (4.2) и (4.3) в (4.1), получаем

 

.

 

Отсюда, используя (4.5), получаем формулу для оценки модуля вектора момента тормозящей силы

 

. (4.6)

 

 

Вывод формулы для косвенных измерений

Момента инерции тела с учетом момента тормозящей силы

 

Рассмотрим систему тело–груз в начальный момент времени, когда груз находится на отметке , а в качестве конечного выберем тот момент времени, когда груз опустился до нижней отметки , соответствующей полной длине нити. Опять будем исходить из энергетического соотношения (4.1).

Для выбранных начального и конечного состояний получим

 

, (4.7)

 

где – момент тормозящей силы (4.6); – угол поворота тела, соответствующий перемещению груза от отметки до (4.4).

Начальная механическая энергия системы тело–груз равна

 

. (4.8)

 

Конечная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии вращательного движения тела и кинетической энер-
гии поступательного движения груза в момент прохождения им от-
метки

,

где – момент инерции тела; – угловая скорость вращения тела в момент (см. рис. 4.1); – скорость поступательного движения груза в момент .

Строго говоря, в процессе движения груз за счет упругого растяжения нити опускается чуть ниже отметки , тормозится нитью, а затем за счет упругого сжатия нити возвращается на эту отметку.

Предполагая, что движение системы является равноускоренным, для скорости груза на отметке получаем

 

, (4.10)

 

где – время, за которое груз опустится от отметки до .

Угловая скорость вращения тела в тот же момент времени равна

 

, (4.11)

 

где – радиус шкива, на который намотана нить.

Подставляя (4.7) – (4.9) в (4.1), получаем

 

.

 

Из этой формулы, учитывая (4.4), (4.10) и (4.11), выражаем момент инерции :

 

, (4.12)

 

где – момент тормозящей силы, который вычисляется по форму-
ле (4.6).

 

 

Получение формул для определения погрешностей

Косвенных измерений момента тормозящей силы

И момента инерции тела

 

Методика получения оценок истинных значений величин и погрешностей при прямых и косвенных измерениях описана в [1]. При выполнении данной лабораторной работы прямыми будут измерения длины и времени . Остальные величины, входящие в рабочие формулы (4.6) и (4.12), измеряются заранее и их истинные значения с указанием погрешностей приведены в таблице исходных данных, помещенной в Приложении и около экспериментальной установки.

Выполнив прямые многократные измерения величин и (см. задание к работе) и проведя их статистическую обработку по методике, описанной в [1], найдите и для выбранного значения доверительной вероятности. Эти величины будут в дальнейшем использованы для оценки истинного значения и погрешности при косвенных измерениях.

Подставляя в рабочую формулу (4.6) истинные значения всех аргументов, получаем оценку истинного значения момента тормозящей силы

, (4.13)

 

где черта над величиной означает оценку истинного значения.

Абсолютная погрешность косвенных измерений величины определяется формулой, приведенной в [1]

 

.

С помощью этой формулы, взяв частные производные по всем аргументам, получим

. (4.14)

 

В формулу (4.14) входят пять квадратичных членов, вклад каждого из них в погрешность величины неодинаков. Поэтому, чтобы упростить вычисления, прежде чем применять эту формулу, необходимо оценить вклад каждого квадратичного слагаемого и оставить в формуле только наибольшие. Эта оценка, кроме того, позволит выявить те величины, точность измерения которых определяет точность получаемого результата.

Оценку истинного значения величины момента инерции тела, определяемого в опытах с помощью формулы (4.12), получим, подставив в нее истинные значения входящих аргументов

 

. (4.15)

 

Абсолютная погрешность косвенных измерений величины определяется по формуле, приведенной в [1],

 

.

 

С помощью этой формулы, взяв частные производные по всем аргументам, получим

 

. (4.16)

 

В формулу (4.16) входит шесть квадратичных членов. Один из них (пятый) связан с погрешностью величины , которая определяется формулой (4.14).

Как было сказано выше, прежде чем применять формулу (4.16), необходимо оценить вклад каждого квадратичного слагаемого, сохранив только наибольшие.

Задание к работе

1. Заготовьте таблицу для прямых пятикратных измерений длины и времени с последующей статистической обработкой полученных результатов.

2. Заранее выберите отметку от которой начнется движение груза (рекомендуемое значение 50 см).

3. Вращая тело рукой, размотайте нить на полную длину и заранее определите численное значение отметки . Обычно можно считать . Внесите длину в таблицу. Оцените погрешность измерения этой длины как систематическую погрешность измерительной линейки.

4. Включите электронный секундомер.

5. Вращая тело рукой, намотайте нить на шкив так, чтобы груз занял положение, соответствующее выбранной Вами начальной отметке .

6. Проведите первый опыт, используя в качестве груза, тянущего нить, только одну подставку массой без подгрузков. Предварительно нажатием кнопки «Режим» установите режим №2 (светится индикатор «Реж.2»). Затем нажмите кнопку «Пуск». При этом отключится тормозное устройство, удерживающее тело, и одновременно включится секундомер. При включенном режиме №2 секундомер в момент прохождения грузом отметки автоматически остановится, но тор-мозная система при этом не остановит движения, позволив грузу подняться до отметки . Дождитесь момента, когда груз поднимется до отметки , и зафиксируйте ее численное значение. Внесите результаты первого опыта в таблицу измерений (ими будут и ).

7. Пятикратно повторите этот опыт, не меняя массу груза, что необходимо для определения случайной погрешности прямых измерений.

8. Проведите по одному опыту, поместив на подставку сначала один, а затем сразу два подгрузка. Результаты внесите в таблицу измерений.

9. Проведите статистическую обработку пятикратно проведенных прямых измерений величин и (п. 6,7), пользуясь методикой, изложенной в [1]. Получите оценку истинных значений и доверительных погрешностей для этих величин. Результаты вычислений внесите в таблицу.

10. Проведите оценку истинного значения момента тормозящей силы , пользуясь формулой (4.13).

11. Проведите численную оценку квадратичных членов формулы (4.14) и, отбросив малые, оцените погрешность косвенных измерений момента тормозящей силы .

12. Проведите оценку истинного значения момента инерции тела , пользуясь формулой (4.15).

13. Проведите численную оценку квадратичных членов формулы (4.16) и, отбросив малые, оцените погрешность косвенных измерений момента инерции тела .

14. С помощью формулы (4.6) или (4.13) проведите расчет моментов тормозящей силы для однократных опытов с другими грузами
(см. п. 8). Погрешности измерений для этих опытов вычислять не надо. Обратите внимание на закономерное изменение момента тормозящей силы с ростом массы груза.

15. С помощью формулы (4.12) или (4.15) проведите расчет момента инерции тела для однократных опытов с другими грузами (см. п. 8). Погрешности измерений для этих опытов вычислять не надо. Наблюдается ли закономерное изменение момента инерции с ростом массы груза?

Контрольные вопросы

1. Какая часть системы совершает в процессе опыта поступательное, а какая – вращательное движение?

2. Почему для описания вращательного движения удобней пользоваться угловыми кинематическими характеристиками, а для поступательного – линейными?

3. Что такое момент силы? Какие силы и моменты сил действуют на тело во время его движения?

4. Какие силы создают момент тормозящей силы? Можно ли указать точку приложения этих сил?

5. Как определить работу момента силы?

6. Сохраняется ли механическая энергия системы тело–груз в процессе опыта?

7. Как можно оценить момент тормозящей силы, пользуясь энергетическими соотношениями? Какие упрощающие предположения при этом делаются?

8. Изменяется ли момент тормозящей силы при увеличении массы груза, как и почему?

9. Что такое момент инерции тела, какое свойство тела он характеризует?

10. Как найти кинетическую энергию при поступательном и при вращательном движении?

11. Как можно определить момент инерции тела, пользуясь энергетическими соотношениями.

12. Зависит ли момент инерции тела от массы груза, закрепленного на конце нити?

13. Выведите формулу кинетической энергии тела, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси.

14. Выведите рабочую формулу для оценки момента тормозящей силы.

15. Выведите рабочую формулу для момента инерции тела с учетом и без учета момента тормозящей силы. Примените эти формулы, чтобы ответить на вопрос, имеет ли смысл учет момента тормозящей силы в проделанных опытах.

 

 

Индивидуальные задания для членов бригады,

выполняющих лабораторную работу на одной установке

 

Номер члена бригады	Индивидуальное задание
	Постройте, пользуясь формулой (4.6), график зависимости момента тормозящей силы от величины h 2. При расчете считайте величины h 0 и h 1, входящие в формулу, равными h 0 = 50 см, см. Численные значения радиуса шкива возьмите в таблице исходных данных, помещенной в Приложении и около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты. Массу m считайте равной массе подставки (без подгрузков)
	Выполните задание, аналогичное заданию для первого но- мера, но для массы m, равной сумме масс подставки и одно- го подгрузка,
	Выполните задание, аналогичное заданию для первого но- мера, но для массы m, равной сумме масс подставки и двух подгрузков,

 

 

Литература

 

1. Введение к настоящим методическим указаниям.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982. – Т. 1
(и последующие издания этого курса).

 

Лабораторная работа № 5

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы – определение момента инерции маятника с применением уравнения колебаний и исследование зависимости момента инерции от расстояния до условно выбранной точки А.

 

Описание установки

 

Установка представляет собой физический маятник, т. е. твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.

Физический маятник в данной работе состоит из барабана массой m ₁ с осью вращения О, стержня массой m ₂ и двух грузов с одинаковыми массами m ₃, которые можно закрепить в нужном положении на стержне (рис. 5.1).

 

а б

Рис. 5.1