Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины

 

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины – перечень возможных значений этой величины, т.е. пары чисел и их вероятностей .

 

	Х
		…		…
…
…

 

События (Х= , = ) образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей, помещенных в таблице, равна 1. Можно найти законы распределения каждой составляющей. События (Х= , = ), (Х= , = ),…,(Х= , = ) несовместны, поэтому - вероятность того, что Х примет значение равно сумме вероятностей «столбца ». – просуммировать вероятности «столбца ». Аналогично, равно сумме вероятности строки .

 

Функции распределения двумерной случайной величины

 

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют , определяющую вероятность того, что X<x, Y<y: F (x,y) =P (X < x, Y < y).

Свойства:

1. – вероятность.

2. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е. , если ; если .

3. Предельные соотношения: , , .

4. , .

При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х; при функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y.

 

Вероятность попадания случайной величины в полуполосу

И прямоугольник

 

Найдем вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадет в полуполосу: или в полуполосу

Функция распределения считается известной, она определяет вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной . Тогда вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна: - это разность вероятностей попадания случайной точки в квадрант с вершиной и вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной . Аналогично, . Вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Рассмотрим вероятность попадания в прямоугольник ABCD, заданий уравнениями сторон: . Эта вероятность равна разности вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ и вероятность попадания случайной точки в полуполосу CD: .

Y

 

 

 

X

 

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

 

Непрерывную двумерную случайную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения всюду непрерывна и имеет непрерывную частную производную второго порядка.

Двумерная плотность распределения вероятностей – вторая смешанная частная производная от функции : .

Геометрически – это поверхность (поверхность распределения). Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения :

Вероятностный смысл f(x, y)

 

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD: . Применим теорему Лагранжа: , где . Отсюда – это отношение вероятности попадания в квадрат к его площади.

Перейдем к пределу .

Свойства :

1) f (x,y)³0 (F(x,y), поскольку – неубывающая функция своих аргументов.

2) .

 

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

 

– это вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и . Разобьем область D на n элементарных областей прямыми, параллельными Оу и Ох на расстоянии Dх и Dу. Вероятность попадания случайной точки в область D равна сумме вероятностей попадания точки в элементарные области: . Переходя к пределу, получим .

 

Раздел IX. Элементы математической статистики

Глава 23. Статическая оценка параметров распределения

Задачи математической статистики. Вариационный ряд

 

Первая задача статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования:

а) оценка неизвестной вероятности события, известной функции распределения, параметров распределения, вид которого известен и т.д.

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Для исследования какого-либо признака из генеральной совокупности (всех объектов) извлекают выборку – случайно отображенные объекты.

 

Вариационный ряд

Рассмотрим пример. Токарь изготавливал в течение 10 дней следующее количество деталей: 5,6,5,7,7,7,8,5,6,5. Ранжируем эту выборку – разобьем на группы:

5,5,5,5 6,6 7,7,7 8

4 раза 2 раза 3 раза 1 раз.

При ранжировании группы располагаются в порядке возрастания. Значение каждой группы называется вариантой. Число повторений в каждой группе называется частотой варианты. Полученную таблицу называют вариационным рядом.

В общем виде:

 

 

– объем выборки.

Графическое изображение вариационного ряда – полигон.

Для непрерывного признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i -й интервал.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны , где – относительная частота.

 

Точечные оценки

 

Вариационный ряд характеризует случайную величину, но не в полной мере, поэтому используются характеристики, аналогичные теоретическим – М (х), D (х) и т.д. Эти числовые характеристики подсчитываются на основании выборки и называются точечными оценками (т.к. являются числами).

Точечной оценкой характеристики Q называется некоторая функция Q* результатов наблюдений, значение которой принимают за приближение этой характеристики: . Качество точечной оценки определяется характеристиками:

1. Несмещенность оценки: точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру: , т.е. совпадает с истинным значением.

2. Состоятельность: точечная оценка называется состоятельной, если она при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

3. Эффективность: точечная оценка считается эффективной, если она имеет (при заданном n) наименьшую дисперсию.

 

Основные точечные оценки

 

1. Выборочная средняя: .

Выборочная средняя приближается к М (х), является несмещенной, состоятельной и эффективной.

2. Выборочная дисперсия: . S² является состоятельной, но смещенной, поэтому часто используют несмещенную оценку – исправленную выборочную дисперсию:

3. Начальные и центральные моменты k - го порядка. Начальный момент k -го порядка: . Центральный момент k -го порядка: