Метод найменших квадратів (МНК).

Найбільш об'єктивне значення можна одержати з експериментальних даних, якщо для їх обробки використати МНК. Дійсно, провівши n вимірів активності А(t_i), ми фактично маємо n рівнянь типу:

,

............................................. (3.20)

,

де δ_і– відхилення точки A(ti) від прямої лінії, що описується формулою (3.16)

 

 

(3.16)

МНК дає можливість відшукати з системи рівнянь (3.20) такі значення A₀ і λ_і, при яких S – сума квадратів δ_і буде мінімальною відносно прямої лінії (3.16).

(3.21)

Величини lnА(t_i) та t_i – це данні вимірів. Прирівнявши похідні S по lnA₀ та λ до нуля, одержимо систему двох рівнянь для обчислення величин lnA₀ та λ.

=2A = 0 (3.22)

2@ = 0 (3.23)

Рівняння (3.22) та (3.23) перепишемо у вигляді

(3.24)

(3.25)

 

Розв’язком рівнянь (3.24) та (3.25) будуть вирази

(3.26)

 

 

(3.27)

 

Для розрахунку λ та lnA₀ слід використати мікрокалькулятор для наукових розрахунків з статистичними функціями чи табличний процесор типу EXCEL, або програму ORIGIN. У додатку №1 приводиться приклад як скористатися мікрокалькулятором для наукових розрахунків..

 

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА УСТАНОВКА. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕННЯ ВИМІРІВ ТА ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРІВ.

Експериментальна установка.

Експериментальна установка складається з двох пристроїв:

• (Pu–α–Ве)–нейтронного джерела у парафіновому сповільнювачі, що служить для опромінення тепловими нейтронами зразка, який містить сполуку V₂O₅. Наслідком опромінення є накопичення у зразку радіоактивного ізотопу ⁵²V;
• установки для вимірів –активності опромінених зразків, що складається з лічильника типу СТС-6 у свинцевому захисному екрані і двох перерахункових пристроїв (ПП) типу ПС0-2м та джерела живлення лічильника на +500В. ПП №1 підключається до лічильника і служить для виміру активності, ПП №2 використовується для автоматичного включення ПП №1 через задані проміжки часу

(наприклад, через 30 с). Тривалість виміру активності (наприклад, 30 с) встановлюється на ПП №.1.

 

Послідовність виконання роботи та попередньої обробки даних вимірів.

1. Поставте поблизу нейтронного джерела касету з сполукою V₂O₅ і опромінюйте її протягом 15 хвилин.
2. Включіть ПП №1 і ПП №2, подайте на лічильник робочу напругу (400-450 В). Проведіть вимір фону на протязі 10 хвилин.
3. Відрегулюйте роботу ПП №1 і ПП №2 так, щоб активність вимірювалась на протязі 30 с. Інтервал між вимірами теж встановіть 30 с.(Робота проводиться при допомозі лаборанта)
4. Після закінчення опромінення, вийміть касету з V₂O₅ і перенесіть у свинцевий екран з лічильником. Виміри слід починати через 30 секунд після закінчення опромінення і проводити за таким режимом: 30 с вимір, 30 с пауза (для запису і „обнуління” ПП №1). Проводиться 10-15 послідовних вимірів активності опроміненої касети.
5. Необхідно провести три серії вимірів з трьома однаковими касетами. Результати записують у таблицю № 2, зразок якої приведено нижче.
6. Після завершення вимірів приступають до попередньої обробки даних. Всі результати розрахунків записують у таблицю 2.

Таблиця 2.

Час виміру фону t_ф = 600 секунд. Кількість зареєстрованих імпульсів k_ф. =...............імп.,

Швидкість лічби фону =.......................імп/с

№ п/п	Часові інтервали вимірів у секундах	k1і	k2і	k3і		kі	σki	ln ki	ln(k i+σki)	ln(ki – σki)	σki(%)
.. ..	0–30 60–90 120–150 ........

 

Значення символів у таблиці:

k_1і, k_2і, k_3і – результати вимірів активності з касетами №1, №2, №3; і відповідає порядковому номеру виміру активності касети (у відповідному інтервалі)

= k_1i + k_2i+ k_3i –сума даних вимірів у і –тому рядку таблиці 2.,

k_і= – a_фA90;– число відліків і –тому рядку з врахуванням фону.

σ_kі – середньо – квадратичне відхилення величини k_і (обчислюємо по наближеній формулі:

δ_ki – відносна похибка, яку обчислюємо за формулою:

 

 

4.3 Знаходження величин .

1. Користуючись даними приведеними у таблиці №2, побудуйте графік (можна діаграму), де по осі абсцис відкладіть час, що пройшов після початку вимірів, по осі ординат – логарифм числа відліків, зареєстрованих у різних часових інтервалах ln k_i. Тут же відкладіть значення ln(k_i+ σ_ki) та ln(k_i – σ_ki). Проведіть пряму лінію через точки ln k_і Приклад такого графіка приведено на рис 4.

2. Визначіть з графіка величини ln(k2), ln(k1) та t. Вирахуйте величину .

3. Вирахуйте значення _, λ методом найменших квадратів (МНК), користуючись даними, приведеними у таблиці 2.

7. Порівняйте дані, одержані з графіку та вирахувані МНК з довідниковими даними.