Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:

(1)

(2)

Первый признак сравнения:

Если для n ³ n₀ u_n £ v_n и ряд (2) сходится, то сходится также и ряд (1).

Если для n ³ n₀ u_n ³ v_n и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

 

Второй признак сравнения:

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, чтобы установить сходимость или расходимость ряда, этот ряд сравнивают с каким-нибудь заведомо сходящимся или расходящимся рядом.

Для сравнения часто используются ряды:

1. Ряд (| q | < 1), cоставленный из членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся.

2. Ряд Дирихле сходится при р > 1, расходится при р ≤ 1

В случае p =1 имеем гармонический ряд:

. Гармонический ряд расходится.

Замечание 1: Условие второго признака сравнения выполняется, в частности, когда величины и эквивалентны при n®∞ ( ~ , n®∞), т.к. в этом случае l= 1. Поэтому этот признак применяют, когда можно пренебречь младшими степенями n или воспользоваться таблицей эквивалентностей (см. тему «Предел функции»)

Замечание 2: Для применения первого признака сравнения часто используют следующие неравенства, выполняющиеся для достаточно больших n:

; ; и т.п.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Общий член ряда представляет собой дробно-рациональное выражение, так что мы можем пренебречь младшими слагаемыми, получив выражение, эквивалентное данному при n →∞:

. Ряд вида отличается от гармонического ряда только постоянным сомножителем и, следовательно, расходится.

На основании второго признака сравнения рядов заключаем, что данный ряд расходится.

 

Замечание:Здесь можно было использовать и первый признак сравнения, т.к.

и ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Сравним этот ряд с рядом , который представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем . , при n 2 и ряд сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поэтому и исследуемый ряд сходится (по первому признаку сравнения).

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд:

Решение. Известно, что при x →0 бесконечно малая функция tg x эквивалентна x, т.е. tg x ~ x. Следовательно, при n →∞ ~ . Ряд сходится (это ряд Дирихле со значением параметра р=3/2>1).

Следовательно, по второму признаку сравнения, исходный ряд сходится.

 

Решить: Исследовать на сходимость при помощи теорем сравнения:

A 1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

B 10) 11)

12) 13)

 

Признак Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами .

Если , то:

ряд сходится, если l<1; ряд расходится, если l>1; в случае l=1 вопрос о сходимости или расходимости ряда остается открытым.

 

Пример 1. Доказать сходимость ряда

Решение. Общий член ряда определяется формулой . Заменяя в этой формуле n на n+ 1, получаем последующий член .

Составим отношение последующего члена к предыдущему:

: .

Найдем предел

Так как l = <1, то ряд сходится (по признаку Даламбера).

 

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Здесь , ,

Согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

 

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь .

, значит, ряд сходится.

 

Пример 4. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Здесь , .

Применим признак Даламбера

(учитывая, что при ):

, ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Здесь поэтому

>1, значит, ряд расходится.

Замечание.

Напомним, что при вычислении пределов такого вида используют следующие свойства функции ln:

для любой функции у справедливо тождество ;

для любых а>0, b;

ln y ~ y -1 при y® 1.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Здесь

; ,

следовательно, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости данного ряда.

Используем второй признак сравнения. Легко видеть, что

. Ряд сходится как ряд Дирихле с р>1. Следовательно, и ряд сходится.

 

Замечание. Как видим, признак Даламбера удобно применять, если общий член ряда содержит множители вида вида аⁿ, n!, nⁿ и т.п. Если же общий член ряда является рациональной или иррациональной (как в последнем примере) дробью, то признак Даламбера неприменим, так как в этом случае соседние члены ряда отличаются друг от друга незначительно.

 

Решить: Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера:

A 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

B 13) 14)

15) 16) 17)

 

Радикальный признак Коши.

Если для ряда с положительными членами существует , то этот ряд сходится при l<1 и расходится при l>1. Если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым (нужны дополнительные исследования).

 

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем . Здесь удобно применить признак Коши:

.

Так как , то ряд сходится.

 

Пример 2. Доказать сходимость ряда

Решение. Применим признак Коши. В данном случае ; так как , то ряд сходится.

Пример 3. Исследовать вопрос о сходимости ряда

Решение. Применим признак Коши.

, следовательно, ряд сходится.

 

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Находим

, следовательно, ряд сходится (по признаку Коши).

 

Замечание При применении признака Коши следует учитывать, что

(см. тему «Предел функции);

вообще, , где - многочлен

 

Решить: Исследовать на сходимость с помощью радикального признака Коши:

A 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

B 9) 10) 11)

 

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, т.е. и пусть f(x) – такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что f(1)=u₁, f(2)=u₂,…,f(n)=u_n,…

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно (т.е. из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).

 

Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле может быть любое другое положительное число из области существования функции.

 

Пример 1. С помощью интегрального признака Коши доказать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда определяется формулой (n =1,2,3,…). Записав в этой формуле х вместо n, получаем функцию . Эта функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши (она принимает положительные значения и убывает с возрастанием х).

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Предел существует и конечен, значит интеграл сходится и, следовательно, сходится и данный ряд.

 

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда определяется формулой . (заметим, что суммирование начинается с n= 2, а при n =1 член ряда не определен, так как в знаменателе содержится множитель ln1=0; однако на исследование сходимости это не влияет). Из формулы общего члена ряда

находим функцию . Рассмотрим несобственный интеграл

.

Поскольку предел бесконечен, то интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.

 

Пример 3. С помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряд:

Решение. Функция при х ³1 положительна, непрерывна и монотонно убывает, т.е. удовлетворяет условиям интегрального признака Коши.

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Поскольку предел равен конечному числу, а именно, , то интеграл сходится, значит, и данный ряд также сходится.

 

Пример 4. Доказать сходимость ряда

Решение. Функция при х ≥1 положительна, непрерывна и монотонно убывает. Для применения интегрального признака следует рассмотреть несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл равен конечному числу, т.е. сходится, значит, и данный ряд сходится.

 

Замечание. Аналогичным образом рассматривается вопрос о сходимости ряда Дирихле с любым положительным значением р.

Решить:

Исследовать с помощью интегрального признака сходимость рядов:

A 1) 2) 3)

4) 5) 6)

Исследовать на сходимость:

7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

15) 16) 17) 18)

19) 20) 21)

 

До сих пор рассматривались ряды с положительными членами. Обратимся теперь к рядам, члены которых имеют разные знаки.

 

 

Знакопеременные ряды.

 

Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.

При исследовании знакопеременного ряда

прежде всего составляют ряд из абсолютных величин его членов, т.е.

Если ряд сходится, то сходится и сам ряд . В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся.

Из расходимости ряда не следует расходимость ряда .

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Замечание. Если расходимость ряда из абсолютных величин установлена на основании необходимого признака сходимости, т.е. , то и исходный знакопеременный ряд будет расходиться, т.к. в этом случае и .

Ряд является рядом с положительными членами, поэтому для исследования вопроса о его сходимости можно применять ранее рассмотренные признаки (признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак Коши).

 

Пример 1. Доказать сходимость ряда .

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов исследуемого ряда:

(1)

Рассмотрим ряд вида (2)

Ряд (2) является рядом Дирихле со значением р=3>1, следовательно, сходится.

К ряду (1) применим признак сравнения: и (2) сходится Þ (1) сходится.

Таким образом, ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда сходится, следовательно, сам заданный ряд сходится абсолютно.

 

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся.

 

Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда)

Знакочередующийся ряд

сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:

1) ; 2) .

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд:

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, абсолютной сходимости в данном случае нет.

Данный ряд является знакочередующимся. Проверим условия признака Лейбница:

1) очевидно, ; 2) .

Следовательно, данный ряд сходится условно.

 

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд из абсолютных величин членов данного ряда не удовлетворяет необходимому признаку сходимости:

. Следовательно, данный ряд расходится.

 

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Применяя признак Даламбера, имеем:

.

Таким образом, ряд сходится. Отсюда следует, что данный ряд тоже сходится, и притом абсолютно.

Замечание. В случаях, аналогичных рассмотренной задаче, когда применение признака Лейбница связано с громоздкими выкладками, выгодно сразу же исследовать знакопеременный ряд на абсолютную сходимость с помощью признака Даламбера (или Коши).

Отметим, что, если признак Даламбера (или Коши) устанавливает, что ряд, составленный из абсолютных величин членов заданного ряда, расходится, то,

оказывается, заданный знакопеременный ряд не может сходиться даже условно, т.е. он расходится. Действительно, если, например, , то и при n®¥, следовательно, , т.е. не выполняется необходимый признак сходимости.

 

Пример 5. Исследовать на сходимость:

Решение: Рассмотрим ряд и составим отношение:

.

В данном случае и признак Даламбера результата не дает. Но мы можем заметить, что для любых n верно, что , то есть . Поскольку возрастающая положительная последовательность не может сходиться к нулю, то . Таким образом, необходимый признак не выполняется для ряда из абсолютных величин, а значит, и для данного знакочередующегося ряда. Следовательно, данный ряд расходится.

 

Решить: Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

A 1) 2)

3) 4) 5)

6)

7) 8) 9)

Степенные ряды.

 

Степенным ряд ом называется функциональный ряд вида

где - числа, называемые коэффициентами ряда (некоторые из них могут быть нулями).

 

При степенной ряд принимает вид

 

Основным свойством степенных рядов является следующее:

Теорема Абеля:

Если степенной ряд сходится при х=х₀, то он будет сходиться (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству

½ х-а ½ = ½ х₀-а ½

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости с центром в точке а:

½ х-а ½<R, или a -R< x<a +R, внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого ряд расходится. На концах интервала (в точках x=a ±R) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах; другие либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся; третьи расходятся на обоих концах.

Число R – половина длины интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то любой степенной ряд сходится лишь при х=а.

Если R=¥, то степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Одним из способов определения радиуса сходимости степенного ряда является применение признаков Даламбера и Коши.

Радиус сходимости степенного ряда можно также вычислить по одной из формул

, (1)

, (2)

если соответствующий предел существует.

Но эти формулы справедливы только для тех рядов, члены которых содержат все или почти все целые положительные степени х, т.е. в которых есть не более конечного числа нулевых коэффициентов.

 

Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда

Решение

Здесь Найдем радиус сходимости ряда:

Следовательно, ряд сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству ½ х ½<1 или -1 <х< 1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Подставляя в данный ряд вместо х число 1, получим гармонический ряд , который, как известно, расходится.

Если х=-1, получаем числовой знакочередующийся ряд
Этот ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

1) ; 2) .

Таким образом, данный ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам -1£х<1, и его промежуток сходимости представляет собой полузамкнутый интервал [-1;1).

Геометрически это выглядит так:

 

Пример 2. Найти область сходимости ряда:

Решение. Найдем радиус сходимости этого ряда по формуле .

;

Следовательно, радиус сходимости , а интервал сходимости (- ; ). Геометрически это выглядит так:

 

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. В правом конце, при х = , данный степенной ряд превращается в числовой ряд вида:

Выше сходимость этого ряда была доказана при помощи интегрального признака.

В левом конце, при х= - , данный степенной ряд превращается в знакочередующийся ряд который сходится абсолютно, так как сходится соответствующий ряд из абсолютных величин: .

Таким образом, данный степенной ряд сходится в обоих концах интервала сходимости, значит, областью сходимости будет отрезок т.е. .

Графически:

 

 

Пример 3. Найтипромежутоксходимостиряда:

Решение.

Радиус сходимости ряда находим по формуле .

В нашей задаче

Поэтому .

Значит, данный ряд сходится при значениях х, удовлетворяющих неравенству ½ х ½<10 или -10 <х< 10.

Исследуем теперь поведение ряда на концах промежутка. Подставляя в данный ряд вместо х число 10 получаем ряд:

,

который расходится как гармонический (отличаясь от него лишь постоянным множителем)

При х=-10 получим числовой знакочередующийся ряд:

, который сходится условно.

Таким образом, данный степенной ряд сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенствам -10£ х< 10, и его промежуток сходимости представляет собой полузамкнутый интервал [-10;10).

Графически:

 

 

Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение.

;

Радиус сходимости ряда равен нулю. Ряд сходится в единственной точке х =0

Замечание.

1. При вычислении предела использовали второй замечательный предел .

2. Тот же результат можно получить и по формуле :

.

Пример 5. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение

Так как ,

то . Ряд сходится при всех х, т.е. в интервале (-¥; +¥).

Пример 6. Найти промежуток сходимости ряда

Решение.

Здесь мы не вправе применять формулу для отыскания радиуса сходимости ряда, так как он не содержит четных степеней х. Поэтому промежуток сходимости ряда найдем, воспользовавшись признаком Даламбера.

Данный ряд будет сходиться при всех значениях х, удовлетворяющих

неравенству

т.е. .

Отсюда получаем .

Выражение в скобках не зависит от n, поэтому 2 х ²<1, или х ²<1/2. Окончательно получаем , т.е. .

Исследуем поведение ряда на концах промежутка.

При получим расходящийся числовой ряд 1+1+1+1+…+1+…

Таким образом, на концах интервала данный ряд расходится. Промежутком сходимости является интервал .

 

Замечание. Тот же результат можно было получить, воспользовавшись радикальным признаком Коши.

Пример 7 Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение: Применим признак Даламбера.

В данном случае .

Ряд сходится при (х +3)²<1, т.е. ½ х +3½<1, -1 <х+ 3 < 1, т.е. -4 <х< -2.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка (-4; -2). При х =-4 получаем ряд - гармонический ряд, который расходится. При х =-2 также получаем расходящийся гармонический ряд

Следовательно, областью сходимости данного ряда является интервал

(-4; -2).

 

 

Замечание. В некоторых случаях функциональный ряд можно при помощи замены переменой привести к виду степенного ряда, для нахождения области сходимости которого можно воспользоваться формулами радиуса сходимости.

 

Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение.

Поскольку данный ряд не содержит четных степеней х, формулами для нахождения радиуса сходимости пользоваться нельзя. Но это степенной ряд,

поэтому он заведомо сходится при х=2 (в центре ряда). При любых других значениях х исследуемый ряд можно привести к виду , поскольку х не зависит от n и, следовательно, общий множитель можно вынести за знак суммы. Сделаем замену переменной y =(x -2)²; тогда

(y >0). Этот ряд сходится при y <R, где . При y =1 имеем ряд , который сходится как ряд Дирихле.

Таким образом, исследуемый ряд сходится при (х -2)²£1, т.е. ½ х -2½£1, т.е. 1£ х £3.

Областью сходимости ряда является замкнутый промежуток [1;3].

 

 

Пример 9. Найти область сходимости ряда .

Решение. Сделаем замену переменной . Тогда задача сводится к исследованию сходимости степенного ряда . Радиус сходимости найдем по формуле Коши: . При y= имеем ряд , который расходится как ряд Дирихле (р=1/2). При y= получаем знакочередующийся ряд , который сходится (по признаку Лейбница).

Таким образом, исследуемый ряд сходится при £ y , т.е. £