Метод кратного перерахунку за допомогою Excel

Задача 1. 1. Обчислити наближене значення інтеграла функції f (x) = e^{sin x} cos2x на відрізку [0;1] за узагальненою формулою трапецій з кроками інтегрування h = 0,2 0,1 0,05. 2. Уточнити значення інтеграла і оцінити його похибку методом кратного перерахунку.

Розв’язання. 1.Спочатку побудуємо електронну таблицю значень функції f (x) у вузлах інтегрування. Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

 

	A	B
	x	f (x)
		= EXP(SIN(A2))*COS(2*A2)
	= A2 + h	↓
	↓	↓

 

Як і раніше, символ ↓ означає копіювання попередніх чарунок. Тут спочатку h = 0,2 і треба копіювати у стовпці А до значення 1, тобто до чарунки А7. В результаті отримаємо таку таблицю:

	A	B
	х	f (x)
	0,2	1,12349
	0,4	1,028424
	0,6	0,637322
	0,8	-0,05983
		-0,96537

 

У стовпці С до отриманої таблиці додамо відповідні коефіцієнти Котеса узагальненої формули трапецій:

	A	B	С
	х	f (x)	к
	0,2	1,12349
	0,6	0,637322
	0,8	-0,05983
		-0,96537

 

Аналогічно дістанемо такі таблиці для h = 0,1 і h = 0,05:

	J	K	L
	х	f (x)	к
	0,05	1,045997
	0,1	1,082961
	0,15	1,109319
	0,2	1,12349
	0,25	1,123917
	…	…	…
	0,75	0,139856
	0,8	-0,05983
	0,85	-0,27311
	0,9	-0,49729
	0,95	-0,72921
		-0,96537

 

	E	F	G
	х	f (x)	к
	0,1	1,082961
	0,2	1,12349
	0,3	1,109107
	0,4	1,028424
	0,5	0,872667
	0,6	0,637322
	0,7	0,323702
	0,8	-0,05983
	0,9	-0,49729
		-0,96537

 

2. На основі цих обчислень побудуємо таблицю кратного перерахунку. Надамо чарункам таких значень:

 

	A	B	C	D
	№ перерахунку
	n	s	I	R
		= СУММПРОИЗВ(B2:B7;C2:C7)	= 0,5/A26*B26
		= СУММПРОИЗВ(F2:F12;G2:G12)	↓	= 1/3*(C27-C26)
		= СУММПРОИЗВ(K2:K22;L2:L22)	↓	↓

 

Тут у стовпці А n – кількість відрізків, на які вузли інтегрування ділять [0;1] (1/n = h), яка подвоюється згідно з методом кратного перерахунку. У стовпці В інтегральна сума, а у стовпці С – значення інтеграла згідно з узагальненою формулою трапецій (10). У стовпці D підрахунок оцінки похибки отриманого значення інтеграла згідно з правилом Рунге (14). Оскільки в узагальненої формули трапецій порядок р дорівнює 2, то тут ділимо на 3 = 2^р – 1. В результаті маємо таку таблицю:

 

 

	A	B	C	D
	№ перерахунку
	n	s	I	R
		5,493444	0,549344
		11,27574	0,563787	0,004814
		22,69522	0,567381	0,001198

 

Поклавши n = 5, знаходимо з таблиці: I_n ≈ 0,549344, I_2n ≈ 0,563787, I_4n ≈ 0,567381; згідно з правилом Рунге R_2n (f) ≈ , отримуємо з стовпця D R_2n (f) ≈ 0,004814, R_4n (f) ≈ 0,001198. Як бачимо, із зростанням n, тобто зменшенням кроку h = 1/ n R(f) зменшується. Тепер розширимо попередню таблицю направо і проведемо в ній наступні перерахунки. Надамо чарункам таких значень:

 

	A	B	C	D	E	F	G
	№ перерахунку
	n	s	I	R	I	R	I
		*	*
		*	↓	*	= C27 + D27
		*	↓	↓	↓	= 1/7*(E28 – E27)	= E28 + F28

 

Символ * у чарунці цієї таблиці означає, що в ній залишилась та ж сама формула, що була до розширення. Далі у стовпці Е знаходимо уточнені значення інтеграла по формулі екстраполяції за Річардсоном (15), тобто значення I_n,2n та I_2n,4n уже порядку 3. Цим започаткований другий перерахунок, а потому в чарунці F28 обчислюємо оцінку похибки R_2n,4n (f) знову за правилом Рунге (14): із зростанням кратності перерахунку на одиницю порядок р теж зростає на одиницю і отже при другому перерахунку р = 3, 2^р – 1 = 7. Нарешті у чарунці G28 обчислюємо наближене значення інтегралу з залишковим членом порядку 4 за формулою Річардсона. В результаті обчислення в Excel дістаємо таблицю:

 

	A	B	C	D	E	F	G
	№ перерахунку
	n	s	I	R	I	R	I
		5,493444	0,549344
		11,27574	0,563787	0,004814	0,568601
		22,69522	0,567381	0,001198	0,568578	-7,7E-06	0,568571

 

Як бачимо з чарунці F28, значення R_2n,4n (f) насправді значно краще порядку 3: як було показано у доведенні метод гарантує лише не гірші результати. Отже, наближене значення інтеграла в G28 уже навіть порядку 5 (а не 4), як ми розраховували.

Задача 2. Обчислити наближене значення функції f (x) = e^xsinx на відрізку [0;1] за узагальненою формулою Сімпсона з точністю 10^-8, для оцінки похибки використавши метод кратного перерахунку.

Розв’язання. Оскільки апріорні оцінки тут вимагають значних обчислень і все одно значно завищені, то спочатку візьмемо найменші можливі n = 2, 4, 8, тобто h = 0,5 0,25 0,125 і оцінимо відповідні похибки за методом кратного перерахунку. (Зауважимо, що за узагальненою формулою Сімпсона n обов’язково парне). Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

 

	A	B
	x	f (x)
		= EXP(A2)*SIN(A2)
	= A2 + h	↓
	↓	↓

 

В результаті, наприклад, при h = 0,125 отримаємо таку таблицю:

 

	A	B
	х	f (x)
	0,125	0,141275
	0,25	0,317673
	0,375	0,532923
	0,5	0,790439
	0,625	1,093106
	0,75	1,443029
	0,875	1,841241
		2,287355

 

У стовпці С до отриманої таблиці додамо відповідні коефіцієнти Котеса узагальненої формули Сімпсона:

 

	J	K	L
	х	f (x)	к
	0,125	0,141275
	0,25	0,317673
	0,375	0,532923
	0,5	0,790439
	0,625	1,093106
	0,75	1,443029
	0,875	1,841241
		2,287355

 

Аналогічно з двома іншими таблицями:

	E	F	G
	х	f (x)	к
	0,25	0,317673
	0,5	0,790439
	0,75	1,443029
		2,287355

 

	A	B	С
	х	f (x)	к
	0,5	0,790439
		2,287355

 

 

На основі цих обчислень побудуємо таблицю кратного перерахунку, ідентичну таблиці задачі 1:

 

	A	B	C	D
	№ перерахунку
	n	s	I	R
		= СУММПРОИЗВ(B2:B4;C2:C4)	= B16/(3*А16)
		= СУММПРОИЗВ(F2:F6;G2:G6)	↓	= 1/15*(C17-C16)
		= СУММПРОИЗВ(K2:K10;L2:L10)	↓	↓

 

Тут у стовпці С – значення інтеграла згідно з узагальненою формулою Сімпсона (12). Оскільки в узагальненої формули Сімпсона порядок р дорівнює 4, то тут ділимо на 15 = 2^р – 1. В результаті маємо таку таблицю:

 

 

	A	B	C	D
	№ перерахунку
	n	s	I	R
		5,449112	0,908185
		10,91104	0,909254	7,12176E-05
		21,82382	0,909326	4,81561E-06

 

Поклавши n = 2, знаходимо з таблиці: I_n ≈ 0,908185, I_2n ≈ 0,909254, I_4n ≈ 0,909326; згідно з правилом Рунге R_2n (f) ≈ , отримуємо з стовпця D R_2n (f) ≈ 7,12176E-05, R_4n (f) ≈ 4,81561E-06. Як бачимо, отримані наближені значення інтегралу є недостатньо точними. Тому розширимо попередню таблицю направо і проведемо у ній другий перерахунок:

 

	A	B	C	D	E	F
	№ перерахунку
	n	s	I	R	I	R
		*	*
		*	↓	*	= C17 + D17
		*	↓	↓	↓	= 1/31*(E18 – E17)

 

Символ * у чарунці цієї таблиці означає, як і раніше, що в ній залишилась та ж сама формула, що була до розширення. Далі у стовпці Е знаходимо уточнені значення інтеграла по формулі екстраполяції за Річардсоном (15), тобто значення I_n,2n та I_2n,4n наступного порядку, в чарунці F18 оцінку похибки R_2n,4n (f) знову за правилом Рунге (14). Отже, дістаємо таблицю:

 

	A	B	C	D	E	F
	№ перерахунку
	n	s	I	R	I	R
		5,449112	0,908185
		10,91104	0,909254	7,12176E-05	0,909325
		21,82382	0,909326	4,81561E-06	0,909331	1,88137E-07

 

Отже, R_2n,4n (f) ≈ 1,88137E-07. Порядок похибки зріс на одиницю, проте отримані наближені значення інтегралу все ще є недостатньо точними. Порядок зростає як із зростанням кількості перерахунків, так і з зростанням n. Оскільки всі можливості збільшення кількості перерахунків вичерпані при даних n, то треба покласти n = 16 і провести відповідні додаткові обчислення. При h = 1/16 = 0,0625 отримуємо:

 

	N	O	P
	х	f (x)	к
	0,0625	0,066488
	0,125	0,141275
	0,1875	0,224845
	0,25	0,317673
	0,3125	0,420219
	0,375	0,532923
	0,4375	0,656203
	0,5	0,790439
	0,5625	0,935975
	0,625	1,093106
	0,6875	1,262067
	0,75	1,443029
	0,8125	1,636086
	0,875	1,841241
	0,9375	2,0584
		2,287355

 

Додамо отримані дані у попередню таблицю кратного перерахунку. Маємо:

 

	A	B	C	D	E	F
	№ перерахунку
	n	s	I	R	I	R
		5,449112	0,908185
		10,91104	0,909254	7,12176E-05	0,909325
		21,82382	0,909326	4,81561E-06	0,909331	1,88137E-07
		43,64786	0,90933	3,0651E-07	0,909331	2,85653E-09

 

Отже, нарешті ми отримали оцінку похибки належного порядку у чарунці F19, задача розв’язана. Це оцінка похибки R_4n,8n (f) наближеного значення інтегралу І_4n,8n (f), що знаходиться у чарунці Е19: І_4n,8n (f) ≈ 0,909330672 (таке значення було отримане після розширення стовпця цієї чарунки в Excel). Насправді отриманий порядок знову більший на одиницю гарантованого відповідною теоремою. Ми можемо тепер провести ще третій перерахунок і подивитись на порядок третього уточненого значення:

 

	A	B	C	D	E	F	G	H
	№ перерахунку
	n	s	I	R	I	R	I	R
		*	*
		*	↓	*	*
		*	↓	↓	↓	*	= E18 + F18
		*	↓	↓	↓	↓	↓	= 1/63*(G19 – G18)

 

Тут р = 6, 2^р – 1 = 63. В результаті дістаємо:

 

	A	B	E	F	G	H
	№ перерахунку
	n	s	I	R	I	R
		5,449112
		10,91104	0,909325
		21,82382	0,909331	1,88137E-07	0,909331
		43,64786	0,909331	2,85653E-09	0,909331	-1,53536E-09

 

Порядок похибки третього уточненого значення не зріс: насправді можна довести, що при зростанні порядку у деякому перерахунку вище гарантованого у наступному перерахунку зростання, як правило, не відбудеться.

Питання, тести

 

1. Однобічні формули чисельного диференціювання – це

А	f ′(х0) ≈ L′n(х0) = Δу0 = (f (х1) – f (х0)) (n = 1)
Б	f ′(х0) ≈ L′n(х0) = Δу1 = (f (х2) – f (х1)) (n = 2)
В	f ′(х0) ≈ L′n(х0) = Δу2 = (f (х3) – f (х2)) (n = 3)
Г	f ′(х0) ≈ L′n(х0) = (Δу0 – Δ^2у0 + Δ^3у0 + … + Δ^nу0) (загальний випадок)

 

2. Нехай значення скінчених різниць Δ^kу₀ знаходяться у діапазоні А1:F1 (Δ¹у₀ у чарунці В1, Δ²у₀ у чарунці С1, …), крок інтерполяції h = 0,1. Тоді наближене значення похідної f ′(х₀) згідно з однобічними формулами чисельного диференціювання

f ′(х₀) ≈ L′_n(х₀) = (Δу₀ – Δ²у₀ + Δ³у₀ + … + Δⁿу₀)

обчислюється такою таблицею:

А:

	A	B	C	D	E	F
	n
	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^В2/B2	→	→	→	→
	un(x0)	= В1*B3	→	→	→	→
	f ′(х0)	= 0,1*B4	= B5 + 0,1*C4	→	→	→

Б:

	A	B	C	D	E	F
	n
	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^C2/B2	→	→	→	→
	un(x0)	= В1*B3	→	→	→	→
	f ′(х0)	= 10*B4	= B5 + 10*C4	→	→	→

В:

	A	B	C	D	E	F
	n
	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^В2/B2	→	→	→	→
	un(x0)	= А1*B3	→	→	→	→
	f ′(х0)	= 10*B4	= B5 + 10*C4	→	→	→

Г:

	A	B	C	D	E	F
	n
	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^C2/B2	→	→	→	→
	un(x0)	= А1*B3	→	→	→	→
	f ′(х0)	= 10*B4	= B5 + 10*C4	→	→	→

 

 

3. Нехай значення скінчених різниць Δ^kу₀ знаходяться у діапазоні А1:F1 (Δ¹у₀ у чарунці В1, Δ²у₀ у чарунці С1, …), крок інтерполяції h = 0,1. Наближене значення похідної f ′(х₀) обчислене згідно з однобічними формулами чисельного диференціювання

f ′(х₀) ≈ L′_n(х₀) = (Δу₀ – Δ²у₀ + Δ³у₀ + … + Δⁿу₀)

при n = 4 такою таблицею:

 

	A	B	C	D	E	F
	n
	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^C2/B2	→	→	→	→
	un(x0)	= В1*B3	→	→	→	→
	f ′(х0)	= 10*B4	= B5 + 10*C4	→	→	→

 

знаходиться у чарунці

 

А	Б	В	Г
E5	E4	F5	його нема у таблиці

 

4. Нехай значення скінчених різниць Δ^kу₀ знаходяться у діапазоні А1:F1 (Δ¹у₀ у чарунці В1, Δ²у₀ у чарунці С1, …), крок інтерполяції h = 0,1. Наближене значення похідної f ′(х₀) обчислене згідно з однобічними формулами чисельного диференціювання

f ′(х₀) ≈ L′_n(х₀) = (Δу₀ – Δ²у₀ + Δ³у₀ + … + Δⁿу₀)

при n = 4 такою таблицею:

 

	A	B	C	D	E	F
	n
	(–1)^(n+1)/n	= (–1)^C2/B2	→	→	→	→
	un(x0)	= В1*B3	→	→	→	→
	f ′(х0)	= 10*B4	= B5 + 10*C4	→	→	→

 

В результаті дістали значення:

 

	A	B	C	D	E	F
	n
	(-1)^(n+1)/n		-0,5	0,333333	-0,25	0,2
	un(x0)	-0,090909	-0,00758	-0,00117	-0,00025	-6,7E-05
	f ' (x0)	-0,909091	-0,98485	-0,9965	-0,999001	-0,99967

Тоді шукане значення дорівнює

 

А	Б	В	Г
-0,999001	-0,00025	-0,99967	його нема у таблиці

 

5. При застосуванні однобічних формул чисельного диференціювання похибка із зменшенням кроку методу h

 

А	зменшується
Б	зменшується до деякого значення h0
В	збільшується
Г	збільшується, починаючи з деякого h0
Д	зменшується, якщо використати достатньо малі порядки скінчених різниць n

 

6. Нехай функція f (x) лінійна на відрізку [a; b]. Тоді похибка квадратурної формули буде найменшою можливою, якщо для наближеного обчислення застосувати

 

А	формулу прямокутників
Б	формулу трапецій
В	обидві ці формули дають однаковий результат
Г	довільну квадратурну формулу
Д	найменше можливе значення на дасть жодна квадратурна формула

 

7. Нехай функція f (x) лінійна на відрізку [a; b]. Тоді найменша можлива похибка квадратурної формули дорівнює

 

А	1, якщо це формула прямокутників
Б	1, якщо це формула трапецій
В	обидві ці формули дають однаковий результат
Г	0 для довільної квадратурної формули
Д	найменше можливе значення на дасть жодна квадратурна формула

 

 

8. Формулою Ньютона – Котеса називають квадратурну формулу, якщо

 

А	вона має вигляд ≈
Б	вона має вигляд ≈
В	= () і Di =
Г	вона є інтерполяційною та її вузли рівновіддалені

 

9. Серед наступних квадратурних формул найкраща (тобто найменша) оцінка для залишкового члена у

 

А	формули прямокутників
Б	формули трапецій
В	формули Сімпсона
Г	це залежить від підінтегральної функції
Д	це залежить від відрізку [a; b].

 

10. З алишковий член R(f) квадратурної формули Ньютона – Котеса має найкращий (тобто найбільший) порядок відносно кроку інтегрування для

 

А	формули прямокутників
Б	формули трапецій
В	формули Сімпсона
Г	це залежить від підінтегральної функції
Д	це залежить від відрізку [a; b].

 

11. Серед наступних узагальнених квадратурних формул при достатньо малих кроках інтегрування найкраща (тобто найменша) оцінка для залишкового члена у

 

А	формули прямокутників
Б	формули трапецій
В	формули Сімпсона
Г	це залежить від підінтегральної функції
Д	це залежить від відрізку [a; b].

12. З алишковий член квадратурної формули Ньютона – Котеса має найбільший порядок відносно кроку інтегрування для

 

А	формули трапецій
Б	формули Сімпсона
В	узагальненої формули трапецій
Г	узагальненої формули Сімпсона
Д	це залежить від підінтегральної функції

 

13. Отримані оцінки наступного методу є апостеріорними

 

А	методу трапецій
Б	методу Сімпсона
В	узагальненого методу трапецій
Г	узагальненого методу Сімпсона
Д	методу подвійного перерахунку

 

14 Метод подвійного перерахунку ґрунтується на таких формулах:

 

А	формулі трапецій
Б	формулі Сімпсона
В	правилі Рунге
Г	формулі екстраполяції за Річардсоном
Д	узагальненій формулі трапецій
Е	узагальненій формулі Сімпсона

 

15. Формула правила Рунге – це

 

А	≈ In,2n = I2n +
Б	R2n (f) ≈
В	ôR2n (f)ô ≈ )
Г	ôR(f)ô ≈ )

16. Формула екстраполяції за Річардсоном – це

 

А	≈ In,2n = I2n +
Б	R2n (f) ≈
В	ôR2n (f)ô ≈ )
Г	ôR(f)ô ≈ )

 

1. Точне формулювання правила Рунге – це

 

А	= In,2n = I2n + + О(h^p+1)
Б	R2n (f) ≈
В	ôR2n (f)ô = )
Г	R2n (f) = + О(h^p+1)

 

18. Точний варіант формули екстраполяції за Річардсоном – це

 

А	= In,2n = I2n + + О(h^p+1)
Б	R2n (f) ≈
В	ôR2n (f)ô = )
Г	R2n (f) = + О(h^p+1)

 

 

19. У стовпці С наступної таблиці

 

	A	B	С
	х	f (x)	к
	0,2	1,12349
	0,4	1,028424
	0,6	0,637322
	0,8	-0,05983
		-0,96537

 

знаходяться коефіцієнти Котеса

 

А	формули трапецій
Б	узагальненої формули трапецій
В	формули Сімпсона
Г	узагальненої формули Сімпсона

 

20. Коефіцієнти Котеса узагальненої формули Сімпсона знаходяться у стовпці С наступної таблиці:

А:

	A	B	С
	х	f (x)	к
	0,2	1,12349
	0,4	1,028424
	0,6	0,637322
	0,8	-0,05983
		-0,96537

Б:

	A	B	С
	х	f (x)	К
	0,5	0,790439
		2,287355

 

 

В:

	E	F	G
	х	f (x)	к
	0,25	0,317673
	0,5	0,790439
	0,75	1,443029
		2,287355

 

 

Г:

	J	K	L
	х	f (x)	к
	0,125	0,141275
	0,25	0,317673
	0,375	0,532923
	0,5	0,790439
	0,625	1,093106
	0,75	1,443029
	0,875	1,841241

 

21. У стовпці В наступної таблиці знаходяться наближені значення інтеграла функції, обчислені за узагальненою формулою трапецій з кроками h = 0,2 0,1 0,05 у чарунках В2, В3 і В4 відповідно. Така таблиця здійснює подвійний перерахунок цих даних:

 

A:

	A	B	C	D
	h	I	R	In2n
	0,2	0,549344
	0,1	0,563787	= (B3 – B2)/3	= B3 + C3
	0,05	0,567381	¯	¯

 

Б:

	A	B	C	D
	h	I	R	In2n
	0,2	0,549344	= (В2 – В3)/15	= В2 + С2
	0,1	0,563787	¯	¯
	0,05	0,567381	¯	¯

 

В:

	A	B	C	D
	h	I	R	In2n
	0,2	0,549344	= (В2 – В3)/15	= В2 + С2
	0,1	0,563787	¯	¯
	0,05	0,567381	¯	¯

Г:

	A	B	C	D
	h	I	R	In2n
	0,2	0,549344
	0,1	0,563787	= (B3 – B2)/15	= B3 + C3
	0,05	0,567381	¯	¯

 

21. У стовпці В наступної таблиці знаходяться наближені значення інтеграла функції, обчислені за узагальненою формулою трапецій з кроками h = 0,2 0,1 0,05 у чарунках В2, В3 і В4 відповідно. Ця таблиця здійснює подвійний перерахунок цих даних:

 

	A	B	C	D
	h	I	R	In2n
	0,2	0,549344
	0,1	0,563787	= (B3 – B2)/3	= B3 + C3
	0,05	0,567381	¯	¯

 

В результаті обчислень отримали:

 

	A	B	C	D
	h	I	R	In2n
	0,2	0,549344
	0,1	0,563787	0,004814	0,568601
	0,05	0,567381	0,001198	0,568578

 

Оцінка похибки для наближеного значення 0,563787 знаходиться у чарунці

 

А	Б	В	Г
С3	С4	А3	її нема у таблиці

 

Оцінка похибки для наближеного значення 0,568578 знаходиться у чарунці

 

А	Б	В	Г
С3	С4	А4	її нема у таблиці

 

22. У стовпці В наступної таблиці знаходяться наближені значення інтеграла функції, обчислені за узагальненою формулою Сімпсона з кроками h = 0,5 0,25 0,125 у чарунках В2, В3 і В4 відповідно. Така таблиця здійснює кратний перерахунок цих даних:

 

A:

	A	B	C	D	E	F
	h	I	R	I	R	I
	0,5	0,908185
	0,25	0,909254	= (B3 – B2)/3	= B3 + C3
	0,125	0,909326	¯	¯	= (D4 – D3)/3	= D4 + E4

Б:

	A	B	C	D	E	F
	h	I	R	I	R	I
	0,5	0,908185	= (В2 – В3)/7	= В2 + С2	= (D2 – D3)/15	D2 + E2
	0,25	0,909254	¯	¯	¯	¯
	0,125	0,909326	¯	¯	¯	¯

В:

	A	B	C	D	E	F
	h	I	R	I	R	I
	0,5	0,908185	= (В2 – В3)/15	= В2 + С2	= (D2 – D3)/15	D2 + E2
	0,25	0,909254	¯	¯	¯	¯
	0,125	0,909326	¯	¯	¯	¯

Г:

	A	B	C	D	E	F
	h	I	R	I	R	I
	0,5	0,908185
	0,25	0,909254	= (B3 – B2)/15	= B3 + C3
	0,125	0,909326	¯	¯	= (D4 – D3)/31	= D4 + E4

 

Завдання

1. У точках 1) х = 1 та 2) х = 1,1 знайти похідну від функції