Тема 32. Координаты и векторы

 

Задание 71. Найдите координаты заданной точки по координатам других точек.

 

1. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек C (3; -2; 4) и В (0; 5; -1).

 

2. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек А (-2; 3; 4) и D (5; 0; -1).

3. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек M (4; -2; 3) и N (-1; 5; 0).

4. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А (4; -1; 5) и В (1; 6; 0).

5. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек E (3; -2; 4) и F (0; 1; -1).

6. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек А (-1; 0; 2) и В (0; -1; 0).

7. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек C (3; -2; 4) и D (2; 3; -1).

8. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек А (0; -2; -4) и В (0; -5; -1).

9. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек M (3; -5; 0) и N (0; 5; 1).

10. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А (-1; 4; 0) и В (0; 2; -1).

11. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек C (6; -2; 4) и D (4; 1; 1).

 

12. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек N (3; 0; 0) и N (0; 3; -2).

13. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек F (2; 2; 4) и K (0; 5; -1).

 

14. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек А (3; -2; 4) и В (6; 0; -4).

15. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек C (-1; 2; 0) и D (0; 4; -1).

16. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек N (2; -2; 4) и M (0; -1; 1).

17. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек А (5; 2; -4) и В (0; 0; -1).

18. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек D (3; 1; 4) и C (0; 1; 0).

19. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек S (-3; 2; 1) и В (0; -4; -1).

20. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек M (0; -2; 4) и N (-4; 0; 1).

21. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек E (3; -4; 4) и В (0; 6; 0).

22. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А (3; -2; 9) и В (0; 5; 4).

23. На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек C (0; 2; -4) и D (1; 0; -5).

 

24. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек F (1; 0; 5) и S (-3; 2; 0).

25. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А (0; 2; 4) и В (0; -2; 1).

Задание 72. Даны три вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты четвертой вершины.

 

1. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 0), С (2; 6; 0).

2. А (2; 0; 1), В (-2; 5; 3 ), С (1; 3; 0).

3. А (1; 0; 2), В (-1; 5; 1), С (2; 4; 1).

4. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 0), С (1; 3; 0).

5. А (1; -1; 1), В (-1; 4; 0), С (1; 2; 0).

6. А (2; 0; 1 ), В (0; 5; 0), С (2; 3; 0).

7. А (1; 0; 1), В (-1; 6; 0), С (2; 6; 0).

8. А (1; 0; 3), В (-1; 5; 2), С (2; 4; 2).

9. А (-1; 0; 1), В (-3; 6; 0), С (0; 6; 0).

10. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 0), С (1; 5; 0).

11. А (1; 0; -1), В (-1; 5; -2), С (1; 5; -2).

12. А (3; 0; 1), В (1; 5; 0), С (3; 5; 0).

13. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 1), С (2; 6; 0).

14. А (1; -3; 1), В (-1; 2; 1), С (2; 3; 0).

15. А (3; 0; 1), В (1; 5; 1), С (4; 6; 0).

16. А (4; 0; 1), В (2; 5; 0), С (5; 1; 3).

17. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 0), С (2; 6; 0).

18. А (3; 0; 1), В (1; 5; 0), С (4; 2; -1).

19. А (1; 0; 0), В (-1; 5; 1), С (2; 4; 2).

20. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 2), С (2; 6; 1).

21. А (1; -1; 1), В (-1; 6; 2), С (2; 7; 1).

22. А (1; 1; 1), В (-1; 6; 2), С (2; 7; 1).

23. А (0; 0; 0), В (1; 4; 1), С (-1; 4; 1).

24. А (-1; 0; 0), В (0; 4; 1), С (-2; 4; 1).

25. А (-1; 0; 1), В (0; 4; 2), С (-2; 4; 2).

Задание 73. Даны координаты точек А, В, С.

Найдите: а) длины векторов АВ и АС; б) скалярное произведение векторов АВ и АС; в) угол между векторами АВ и АС.

1. А (1; 0; -1), В (-1; 4; -2), С (1; 5; -2).

2. А (3; 0; 1), В (1; 5; 0), С (3; 5; 0).

3. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 1), С (2; 6; 0).

4. А (1; -3; 1), В (-1; 2; 1), С (2; 3; 0).

5. А (3; 0; 1), В (1; 5; 1), С (4; 6; 0).

6. А (4; 0; 1), В (2; 5; 0), С (5; 1; 3).

7. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 0), С (2; 6; 0).

8. А (3; 0; 1), В (1; 5; 0), С (4; 2; -1).

9. А (1; 0; 0), В (-1; 5; 1), С (2; 4; 2).

10. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 2), С (2; 6; 1).

11. А (1; -1; 1), В (-1; 6; 2), С (2; 7; 1).

12. А (1; 1; 1), В (-1; 6; 2), С (2; 7; 1).

13. А (0; 0; 0), В (1; 4; 1), С (-1; 4; 1).

14. А (-1; 0; 0), В (0; 4; 1), С (-2; 4; 1).

15. А (-1; 0; 1), В (0; 4; 2), С (-2; 4; 2).

16. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 0), С (2; 6; 0).

17. А (2; 0; 1), В (-2; 5; 3 ), С (1; 3; 0).

18. А (1; 0; 2), В (-1; 5; 1), С (2; 4; 1).

19. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 0), С (1; 3; 0).

20. А (1; -1; 1), В (-1; 4; 0), С (1; 2; 0).

21. А (2; 0; 1 ), В (0; 5; 0), С (2; 3; 0).

22. А (1; 0; 1), В (-1; 6; 0), С (2; 6; 0).

23. А (1; 0; 3), В (-1; 5; 2), С (2; 4; 2).

24. А (-1; 0; 1), В (-3; 6; 0), С (0; 6; 0).

25. А (1; 0; 1), В (-1; 5; 0), С (1; 5; 0).

Задание 74. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

1. х ² + у ² + z ² + 4 х + 6 z – 3 = 0.

2. х ² + у ² + z ² + 4 х –2 у –11 = 0.

3. х ² + у ² + z ² + 4 у –12 = 0.

4. х ² + у ² + z ² + 4 х – 2 z –4 = 0.

5. х ² + у ² + z ² – 10 х – 2 у + 2 z – 2 = 0.

6. х ² + у ² + z ² + 6 х –2 у –6 = 0.

7. х ² + у ² + z ² + 4 х –2 у – 2 z –3 = 0.

8. х ² + у ² + z ² + 2 х + 8 у + 2 z –7 = 0.

9. х ² + у ² + z ² –4 х +2 у + 6 z –11 = 0.

10. х ² + у ² + z ² – 10 х – 2 у + 6 z + 10 = 0.

11. х ² + у ² + z ² + 4 х –2 у – 6 z + 5 = 0.

12. х ² + у ² + z ² + 8 х + 6 у = 0.

13. х ² + у ² + z ² + 4 х – 2 z + 1 = 0.

14. х ² + у ² + z ² + 4 х –12 = 0.

15. х ² + у ² + z ² – 8 х – 6 z = 0.

16. х ² + у ² + z ² – 4 х + 2 у + 1 = 0.

17. х ² + у ² + z ² – 4 х +2 у – 2 z –3 = 0.

18. х ² + у ² + z ² + 10 х + 2 у – 2 z – 2 = 0.

19. х ² + у ² + z ² –4 у –12 = 0.

20. х ² + у ² + z ² + 4 х – 12 у –9 = 0.

21. х ² + у ² + z ² + 2 х –10 у – 6 z + 19 = 0.

22. х ² + у ² + z ² + 4 х –2 у – 6 z –11 = 0.

23. х ² + у ² + z ² + 10 х + 2 у – 6 z + 10 = 0.

24. х ² + у ² + z ² –4 z –12 = 0.

25. х ² + у ² + z ² + 4 х – 6 z – 3 = 0.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

Основная

 

1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

2. Геометрия, 10–11: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 206 с.

 

Дополнительная

 

1. Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля. Учебник для образовательных учреждений начального и среднего профессионального образования. – М.: Академия, 2010. – 384 с.

2. Максимова О.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов средних специальных учебных заведений. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2006. – 320 с.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Действия с дробями

1. . 2. .

3. . 4. .

Формулы сокращенного умножения

 

1. а²–b²=(a–b)(a+b). 4. a³+b³=(a+b)(a²–ab+b²).

2. (a+b)²=a²+ 2 ab+b². 5. a³–b³=(a–b)(a²+ab+b²).

3. (a–b)²=a²– 2 ab+b². 6. (a+b)³=a³+ 3 a²b+ 3 ab²+ b³.

7. (a–b)³=a³–3a²b+3ab²–b³.

 

 

Квадратные уравнения

 

a x² + b x + c = 0, где а ≠ 0,

D=b²– 4 ac – дискриминант уравнения;

при D <0 – уравнение не имеет действительных корней;

при D =0 – уравнение имеет единственный корень;

при D >0 – уравнение имеет два действительных корня

.

При D >0 a x² + b x + c = a (x – x ₁) (x – x ₂).

По теореме Виета: .

Степень и ее свойства

 

Если , , то

 

1. . 2. .

 

3. . 4.

5. . 6. .

7. . 8. .

 

9. .

 

 

Свойства арифметических корней

Если , , то

1. . 2.

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Логарифмы и их свойства

 

.

Основное логарифмическое тождество: .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

 

 

Основные тригонометрические тождества

 

; ;

; ;

; .

Формулы сложения

 

;

;

;

;

.

.

 

Формулы двойного аргумента

 

; ;

; ;

.

 

Формулы половинного аргумента

; ;

.

 

Формулы преобразования суммы в произведение

 

;

;

;

;

;

.

 

Формулы преобразования произведения в сумму

 

;

;

.

 

Обратные тригонометрические функции

 

;

;

;

.

;

;

;

.

Таблица некоторых значений тригонометрических функций

Аргумент     Функция
0^0	30^0	45^0	60^0	90^0	120^0	135^0	150^0	180^0
sin x
cos x						-	-	-	-1
tg x					-	-	-1	-
ctg x	-					-	-1	-	-

 

Аргумент     Функция								2
210^0	225^0	240^0	270^0	300^0	315^0	330^0	360^0
sin x	-	-	-	-1	-	-	-
cos x	-	-	-
tg x				-	-	-1	-
ctg x					-	-1	-	-

 

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение	Решение
, где	, где
, где	, где
	, где
	, где

 

 

Частные случаи

Уравнение	Решение
	, где
	, где
	, где
	, где
	, где
	, где