Вычисление погрешности средней проницаемости

Величины средней проницаемости и ее дисперсии, вычисленные в предыдущем пункте по формулам (2.1) и (2.6), являются приближенными, т.к. они получены по ограниченному числу измерений. В этом разделе рассмотрим способ вычисления величины погрешности, с которой определена средняя проницаемость (2.2). Поскольку дисперсия характеризует ширину распределения, или более конкретно, степень отклонения имеющейся совокупности данных от средней величины, то она является мерой абсолютной погрешности в определении средней проницаемости (величину часто называют просто погрешностью). Но отождествление абсолютной величины экспериментальной дисперсии с погрешностью не имеет явного смысла, т.к. они имеют разные размерности (см. формулы (2.2) и (2.5). Поэтому для наглядной характеристики рассеивания опытных данных следует пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью . Такой величиной является квадратный корень из дисперсии :

(3.1)

В соответствующей литературе эту величину называют по-разному - среднеквадратичным отклонением, среднеквадратичной погрешностью или стандартом. Стандарт характеризует вероятность попадания величины проницаемости одной случайно выбранной породы в интервал . Величина называется относительной погрешностью или относительной дисперсией. Но это только частный случай. В общем случае величина не совпадает с абсолютной погрешностью . В частности, такое утверждение следует из того, что стандарт , также, как и , не зависит явно от числа образцов . Это означает, что погрешность также не зависит от . Такое утверждение противоречит простой логике, т. к. с ростом числа образцов , степень точности с которой вычисляется средняя проницаемость должна расти. Следовательно, погрешность должна уменьшаться с ростом . Получим эту зависимость. В табл. 1 приведены результаты сеансов независимых измерений. Средняя проницаемость вычисляется по формуле (2.1):

.

Вычислим теперь дисперсию средних величин . Используя свойства дисперсий, приведенные в конце предыдущего пункта получаем

.

Следовательно, величина относительной погрешности распределения средних проницаемостей равна

,

т. е., относительная погрешность распределения средних проницаемостей, в раз меньше относительной погрешности одного отдельного измерения. Следовательно, с ростом числа испытуемых пород погрешность уменьшается, и для данных, приведенных в табл. 1, получаем

. (3.2)

Величину абсолютной погрешности , определенную таким образом, часто называют, наряду с (3.1), также среднеквадратичным отклонением. Таким образом, средняя величина проницаемости, определенная по данным табл. 1, равна

, (3.3)

т.е. она определена с относительной погрешностью

. (3.4)

Изложенный способ вычисления погрешности средней проницаемости используется часто, но следует отметить, что он является приближенным и имеет оценочный характер. При более строгом рассмотрении вопроса вычисления погрешности вводится понятие доверительного интервала и доверительной вероятности, которая характеризует точность и надежность оценки . По данным табл. 1 мы нашли, что . Зададим некоторую большую вероятность . Пусть истинная средняя проницаемость пород отличается от вычисленной величины на величину с вероятностью

. (3.5)

Это равенство означает, что с вероятностью неизвестное значение средней проницаемости попадает в интервал

. (3.6)

Вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал - доверительным интервалом.

Рассмотрим теперь общий случай. До сих пор мы рассматривали величину , полученную по данным одной серии измерений проницаемостей для 1000 образцов пород. Предположим далее, что мы располагаем результатами большого числа таких измерений, каждая из которых характеризуется средней величиной , вычисленной по формуле (2.1). Тогда, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, распределение по числу полученных средних будет описываться нормальным распределением

, (3.7)

где . Эта функция представляет собой нормальную функцию распределения с параметрами и , и характеризует вероятность того, что случайно выбранная величина имеет значение, меньшее чем (см. Приложение). Здесь отметим, что

, (3.8)

т.е. полная площадь под функцией плотности вероятностей нормального распределения равна единице, или, применяя стандартную терминологию, следует сказать, что эта функция нормирована. Поскольку, в рассматриваемом нами примере, проницаемость является положительной величиной, то величины и могут принимать произвольные положительные значения. В этом случае нормальная функция распределения имеет вид

. (3.9)

Из (3.8) и (3.9) следует, что измеренная в одной серии опытов средняя проницаемость имеет величину, большую, чем некоторая критическая величина с вероятностью . Эта вероятность соответствует затененной части площади под функцией плотности вероятностей. Тогда в силу симметрии рассматриваемой функции, величина попадает в интервал с вероятностью

. (3.10)

Перепишем (3.10) используя (3.5) и (3.9)

. (3.11)

Приравнивая правые части (2.11) и (3.11) получаем уравнение для границ доверительного интервала

,

откуда

, (3.12)

где - функция, обратная .

Как уже отмечалось, истинное значение нам не известно, и поэтому в (3.12) подставляют ее приближенное значение , определяемое из опыта. Вычисляя, таким образом, величину , можно определить доверительный интервал (3.5). При вычислении , как правило, используют табличные данные функции в зависимости от . Величина , приведенная в табл. 2, определяет для нормального закона число среднеквадратических отклонений, которое нужно отложить справа и слева от средней величины, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна :

, (3.13)

где вычисляется по формуле (3.2).

Используя результаты, приведенные в табл. 2 можно сказать, что средняя проницаемость горных пород, определяемая по данным табл. 1, с доверительной вероятностью попадает в интервал с доверительными границами :

,

.

Из табл. 2 следует, что чем больше доверительная вероятность , тем больше величина , и тем сильнее отличаются границы доверительного интервала.

Таблица 2

0,8	1,282	0,86	1,475	0,91	1,694	0,97	2,169
0,81	1,310	0,87	1,513	0,92	1,750	0,98	2,325
0,82	1,340	0,88	1,554	0,93	1,810	0,99	2,576
0,83	1,371	0,89	1,597	0,94	1,880	0,997	3,000
0,84	1,404	0,90	1,643	0,95	1,960	0,999	3,290
0,85	1,439			0,96	2,053

 

Таким образом, мы рассмотрели приближенный метод построения доверительного интервала, не зная при этом истинного закона распределения проницаемостей пород. В том случае, когда этот закон известен, задача построения доверительного интервала решается точно, т.к. при вычислении дисперсии, мы вместо (2.6) можем пользоваться точной формулой

, (3.14)

где есть математическое ожидание, вычисляемое как первый момент распределения :

. (3.15)

Например, если бы распределение проницаемостей горных пород описывалось нормальным распределением, то задача построения точного доверительного интервала для средней проницаемости свелась бы к соответствующему анализу распределения Стьюдента.

 

Заключение

Мы выработали и углубили знания о проницаемости горных пород.Проницаемость – важнейший параметр, характеризующий проводимость коллектора, т. е. способность пород пласта пропускать к забоям скважин нефть и газ при наличии перепада между пластовым и забойным давлениями.

Под абсолютной принято понимать проницаемость пористой среды, которая определена при наличии в ней лишь одной какой либо фазы, химически инертной по отношению к породе.

Под абсолютной принято понимать проницаемость пористой среды, которая определена при наличии в ней лишь одной какой либо фазы, химически инертной по отношению к породе.

Относительной проницаемостью пористой среды называется отношение фазовой проницаемости этой среды к абсолютной.

В системе СИ коэффициент проницаемости измеряется в м²; в системе СГС [k_пр] = см²; в системе НПГ (нефтепромысловой геологии) [k_пр] = Д (Дарси).

1 Дарси = 1,02×10^-8 см² = 1,02 · 10^{-12 м2}» 1 мкм².

Научились определять проницаемости горных пород, распределять по интервалам и вычислять погрешности.

Экспериментальные установки для изучения относительной проницаемости среды более сложны, так как при этом необходимо моделировать многофазный поток, регистрировать насыщенность порового пространства различными фазами и регистрировать расход нескольких фаз.

 

 

 

 

Список литературы

1. Гиматудинов Ш.К. Справочная книга по добыче нефти. Под ред. д-ра техн. наук Гиматудинова Ш.К. Недра 1974.- 704с.

2. Медведев Ю.А. Физика нефтяного и газового пласта: Курс лекций. Тюмень: ТюмГНГУ, 2000 – 158с.

3. Медведев Ю.А., Филин В.В., Методические указания: к выполнению курсовых проектов, курсовых и квалификационных работ для студентов очного обучения направления 650700 ''Нефтегазовое дело'', ТГНГУ 2001г. – 32с.

4. Сидоровский В.А., Вскрытие пластов и повышение продуктивности пластов. Недра 1978г. – 256с.