Связь между частотными и временными характеристиками линейной системы.

 

Пусть имеется предварительно невозбужденная (с нулевыми начальными условиями) линейная автоматическая система, причем ее амплитудно-фазовая частотная характеристика по отношению к управляющему воздействию есть Ф(jw).

Предположим, что в момент времени t=0 на вход системы подано управляющее воздействие в виде дельта-фуекции, т.е. g(t)=d(t).

Реакция системы на дельта-функцию называется импульсной переходной функцией и обычно обозначается k(t).

Импульсная переходная функция является одной из временных характеристик автоматической системы.

Т.к. ,

,

или учитывая, что при t<0, получим

. (1)

Следовательно, амплитудно-фазовая частотная характеристика системы является спектральной характеристикой импульсной переходной функции. Справедлива также формула обратного преобразования Фурье.

(t>0). (2)

Реакция x(t) системы на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t) называется переходной функцией системы и обозначается h(t).

Учитывая, что

Найдем спектральную характеристику переходной функции

(3)

или , (4)

т.к. h(t)=0 при t<0.

Переходная функция является временной характеристикой системы. Она может быть определена с помощью обратного преобразования Фурье.

(t>0) (5)

Т.к. умножению на jw соответствует операция дифференцирования во временной области, можно записать

 

Используя фильтрующие свойства дельта-функций второе слагаемое при Ф(j0) ¹¥ равно нулю

,

Откуда

(6)

Т.е.

(7)

Пусть теперь на вход автоматической системы в момент времени t=0 поступает управляющее воздействие g(t) общего вида найдем реакцию x(t) системы на это воздействие.

Для этого воспользуемся теоремой о свертывании функций в вещественной области.

и равенство

(*)

(8)

Формула (8) является временным аналогом формулы (*), характеризующей спектральные (частотные) соотношения в автоматической системе. Интеграл в правой части называется интегралом Дюамеля.

Рассмотрим детальнее роль импульсной переходной функции k(t-t). Управляющее воздействие g(t), поступающее в автоматическую систему, можно аппроксимировать ступенчатой ломаной с бесконечно большим числом ступеней и бесконечно малым шагом каждой ступени.

 

Тогда возбуждение системы воздействием g(t) сводится к возбуждению системы непрерывной серией импульсов величиной g(t)dt. Реакция системы на единичный импульс в виде дельта-функции, приложенный к системе в момент времени t=t, известна и равна k(t-t). Очевидно, что реакция системы на импульс величиной g(t)dt, приложенный в тот же момент t=t есть k(t-t)g(t)dt. Реакция системы на всю совокупность импульсов, т.е. на g(t) определяется равенством

,

т.е. состоит из суммы реакций на каждый импульс в отдельности.

Пусть t является моментом наблюдения за реакцией системы x(t),

t-t - интервал времени между приложением к системе импульса g(t)dt и рассматриваемым (текущим) моментом t>t.

Функция k(t-t) будет определять степень участия импульсов, приложенных к системе до рассматриваемого момента времени в образовании значения x(t) реакции системы в текущий момент времени t. Оно (влияние) зависит от характера импульсной переходной функции k(t-t) (см. реакции k1(t-t) и k2(t-t)). Следовательно, импульсная переходная функция как бы «взвешивает» роль каждого импульса, приложенного к системе в момент t=t, в образовании реакции системы в рассматриваемый момент времени t>t. По этой причине часто импульсную переходную функцию называют также весовой функцией.

Кроме того, на основании свойств преобразования Фурье можно установить еще одно соответствие между импульсной переходной функцией k(t) и амплитудно-фазовой частотной характеристикой, а именно:

 

(9)

где а – положительная постоянная, независящая от t и .

Отсюда следует, что если k(t) растягивать (сжимать) вдоль оси времени t, то соответствующая ей амплитудно-частотная характеристика будет сжиматься (растягиваться) вдоль оси частот .

Пример. Определить АФХ и АЧХ линейной системы, если весовая функция этой системы

.

По (1) имеем

 

 

.

Весовой функции в виде бесконечно короткого импульса соответствует бесконечно широкая частотная характеристика.