Математическая статистика. Ее виды, особенности, задачи.

ЯГМА

Кафедра медицинской физики

Лечебный факультет

Курс

Семестр

«Элементы математической статистики»

Составил: Дигурова И.И.

Г.

Математическая статистика. Ее виды, особенности, задачи.

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам обработки, систематизации и использования статичных данных для практических и научных целей.

Задачей этого раздела является разработка практических методов, регистрации, описания, анализ экспериментальных данных, получаемых в опытах с массовыми явлениями.

Особенностью статистики является изучение массовых, случайных явлений в условной неопределенности. Достоверность выводов зависит от числа объектов исследования. На основе анализов и прогнозов вырабатывается оптимальное решение.

Статистика подразделяется на:

- теоретическую (вырабатывает методы)

прикладную (общая, отраслевая (экономическая статистика, метеорологическая, медицинская))

 

Медицинская статистика:

- ст. рождаемости

- ст. заболеваемости

- ст. смертности

- ст. медицинских учреждений

 

Биологическая статистика (=биометрия) – включает статистические методы, используемые в различных биологических исследованиях (в цистологии, микробиологии).

 

Статистика:

- описательная (комплекс методов сбора, группировки данных и представления их в виде таблиц, графиков…)

- аналитическая (делает заключения, выводы с целью практического применения)

 

Основные понятия описательной статистики.

Их характеристика

 

1. Генеральная совокупность – подлежащая изучению совокупность однородных элементов, которая характеризуется некоторым признаком. Например, нас интересует распространенность данного заболевания в определенном регионе, тогда генеральная совокупность, это все население региона. Если необходимо выразить мужчин и женщин отдельно по этому заболеванию, то получаем 2 генеральные совокупности.

Количество объектов, входящих в генеральную совокупность называется объемом генеральной совокупности (N)

Генеральная совокупность можно изучать по некоторой ее части.

 

2. Выборочная совокупность - часть генеральной совокупности, выбираемая для статистической обработки (выборка) (объем выборки -n). Свойства объектов выборки должны соответствовать свойствам генеральной совокупности.

Результаты исследования некоторого признака генеральной совокупности, будут более надежны, если выборку образовывать случайным образом. Элементы выборки берутся наугад. Каждый объект может попасть в выборку с одинаковой вероятностью. Главным вопросом является: как определить объем выборки, необходимой для получения необходимого результата.

 

3. Варианта – значение признака для каждого элемента выборки (х)

Признаки могут быть качественными и количественными

Количественные делятся на непрерывные (масса тела) и дискретные (количество волос)

 

Признак, имеющий значение от одного объекта к другому называется варьирующимся. Если количественный признак лежит в интервале – интервальный.

 

4. Частота – количество объектов с конкретным числовым значением признака

xi 35 36 37 38 39 40 41

ni (pi): 2 4 5 6 7 7 2

 

 

5. Частность или относительная частота – доля варианта с данным значением признака (ni/n)

 

Основные меры положения и рассеяния.

 

 

Меры положения частного распределения, их характеристика.

На практике ряды распределения описываются различными числовыми характеристиками (мерами).

 

1 Мода (Мо) – это варианта, наиболее часто встречающаяся в совокупности (= модальное значение).

 

2 Медиана (Ме) – это величина, делящая ранжированный ряд на 2 равные части. Так же она делит площадь под кривой распределения. Для того, чтобы определить Ме надо ранжировать ряд (в порядке возрастания), вычислить номер, под которым стоит медиана.

N/2 – Для четных, (N+1)/2 – Для нечетного количества объектов

 

3 Средняя арифметическая простая – это частное деление суммы всех

значений признака на их общее число объектов

X=(X1+X2+X3…+Xn)/N

Сумма всех <+> и <–> отклонений от х равно «0».

 

Среднюю арифметическую простую вычисляют для неупорядоченных рядов в тех случаях, когда каждая варианта встречается 1 раз.

 

4 Средняя взвешенная

Если в совокупности отдельные варианты встречаются неоднократно, то вычисляется средняя взвешенная – это величина, полученная суммированием произведений числовых значений вариант на их частоты с последующим делением суммы на количество всех вариант.

 

=(х1n1+x2n2+x(n)n(n))/N x1n1+y2n2

 

 

5 Средняя квадратическая используется, если признаки выражаются мерами площади. Пример: размер колонии микробов, листовых пластинок.

 

Его характеристика.

 

Разброс числовых значений вариант (генеральной, выборочной совокупности) относительно средних значений характеризуется мерами рассеяния.

1. Лимит – минимальная и максимальная варианта совокупности. (Xmin, Xmax)

2. Вариационный размах – разность между максимальным и минимальным значением R=Xmax-Xmin

3. Индивидуальное отклонение – разность между числовым значением варианты и средним арифметическим всей совокупности Di=Xi-

4. Дисперсия – мера рассеяния, полученная суммированием квадратов индивидуальных отклонений и последующим делением суммы на объем совокупности.

 

- для генеральной

- для выборочной совокупности

 

Если число объектов менее 30, то рассчитывается исправленная дисперсия (Сигма с крышей)

Где N-1 – число степеней свободы. Это число на 1 меньше, чем весь объем свободности

 

5. Стандартное (среднее квадратичное) отклонение. Эта мера рассеяния, равная корню квадрата дисперсии, S=корень квадратный из . Чем сильнее варьирует признак, тем больше величина среднего квадратного отклонения.

 

6. Коэффициент вариации - мера рассеяния равна, отношению стандартного отклонения к средней арифметической V=(S/X)100%

При нормальном распределении коэффициент вариации не > 50%, а часто гораздо ниже (приблизительно 20%)

 

3. Выборочный метод. Выборки, их виды и требования к ним.

Для того, чтобы получить исчерпывающую информацию о состоянии генеральной совокупности нужно учесть весь ее состав без исключения. Но не всегда есть возможность или необходимость прибегать к сплошному исследованию. В целях экономии времени и средств, анализу подвергается часть совокупности выборки, по ней судят о состоянии всей совокупности в целом.

Если число объектов менее 30, то выборка называется малой. В зависимости от способов формирования, выборки бывают повторные – с возвратом, неповторные – без возврата

 

Требования к выборкам

А)Рендомизация - каждая варианта генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность для попадания в выборку.

Репрезентативность – состав и структура выборки должны соответствовать составу и структуре генеральной совокупности.

	Генеральная совокупность	Выборочная
Объем	N	n
Среднее значение	M
Дисперсия		S в квадрате
Стандартное отклонение		S

 

 

ЯГМА

Кафедра медицинской физики

Лечебный факультет

Курс

Семестр

«Элементы математической статистики»

Составил: Дигурова И.И.

Г.

Математическая статистика. Ее виды, особенности, задачи.

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам обработки, систематизации и использования статичных данных для практических и научных целей.

Задачей этого раздела является разработка практических методов, регистрации, описания, анализ экспериментальных данных, получаемых в опытах с массовыми явлениями.

Особенностью статистики является изучение массовых, случайных явлений в условной неопределенности. Достоверность выводов зависит от числа объектов исследования. На основе анализов и прогнозов вырабатывается оптимальное решение.

Статистика подразделяется на:

- теоретическую (вырабатывает методы)

прикладную (общая, отраслевая (экономическая статистика, метеорологическая, медицинская))

 

Медицинская статистика:

- ст. рождаемости

- ст. заболеваемости

- ст. смертности

- ст. медицинских учреждений

 

Биологическая статистика (=биометрия) – включает статистические методы, используемые в различных биологических исследованиях (в цистологии, микробиологии).

 

Статистика:

- описательная (комплекс методов сбора, группировки данных и представления их в виде таблиц, графиков…)

- аналитическая (делает заключения, выводы с целью практического применения)

 

Основные понятия описательной статистики.

Их характеристика

 

1. Генеральная совокупность – подлежащая изучению совокупность однородных элементов, которая характеризуется некоторым признаком. Например, нас интересует распространенность данного заболевания в определенном регионе, тогда генеральная совокупность, это все население региона. Если необходимо выразить мужчин и женщин отдельно по этому заболеванию, то получаем 2 генеральные совокупности.

Количество объектов, входящих в генеральную совокупность называется объемом генеральной совокупности (N)

Генеральная совокупность можно изучать по некоторой ее части.

 

2. Выборочная совокупность - часть генеральной совокупности, выбираемая для статистической обработки (выборка) (объем выборки -n). Свойства объектов выборки должны соответствовать свойствам генеральной совокупности.

Результаты исследования некоторого признака генеральной совокупности, будут более надежны, если выборку образовывать случайным образом. Элементы выборки берутся наугад. Каждый объект может попасть в выборку с одинаковой вероятностью. Главным вопросом является: как определить объем выборки, необходимой для получения необходимого результата.

 

3. Варианта – значение признака для каждого элемента выборки (х)

Признаки могут быть качественными и количественными

Количественные делятся на непрерывные (масса тела) и дискретные (количество волос)

 

Признак, имеющий значение от одного объекта к другому называется варьирующимся. Если количественный признак лежит в интервале – интервальный.

 

4. Частота – количество объектов с конкретным числовым значением признака

xi 35 36 37 38 39 40 41

ni (pi): 2 4 5 6 7 7 2

 

 

5. Частность или относительная частота – доля варианта с данным значением признака (ni/n)