Рассмотрение единичных состояний основной системы

Переобозначаем дополнительные реакции, соответствующие отброшенным связям ; . Первое единичное состояние получаем, загружая основную систему единичной силой (рис. 5.5, д). Обозначаем основные реакции , , , и для их определения обращаемся к уравнениям (5.10) – (5.13). Производим замену переменных и учитываем, что , и все внешние нагрузки отсутствуют, т. е. . В результате получаем систему уравнений и её решение

Проверяем выполнение уравнения (5.14):

; ; .

Далее, по аналогии с грузовым состоянием составляем и исследуем выражения “единичных” изгибающих моментов (рис. 5.5, д).

I грузовой участок

– наклонная прямая (0; 0,(6)) – сжатие волокон слева.

II грузовой участок

– наклонная прямая (0,(6); –0,(6)) – сжатие волокон сверху переходит в сжатие волокон снизу.

III грузовой участок

– наклонная прямая (0; –1,(3)) – истинное сжатие волокон снизу (реакция отрицательна и, следовательно, действует вниз).

IV грузовой участок

– наклонная прямая (0; – 0,(3)) – истинное сжатие волокон справа.

V грузовой участок

–наклонная прямая (1,0; 0,(6)) – сжатие волокон слева.

По полученным данным строим со стороны сжатых волокон I “единичную” эпюру изгибающих моментов (рис. 5.5, е). Проверяем равновесие узлов рамы (рис. 5.7):

; ; .	; ; .	; ; .

Рис. 5.7. Статическая проверка эпюры

Второе единичное состояние получаем, загружая основную систему единичной силой (рис. 5.5, ж). Используя уравнения (5.10) – (5.13) и учитывая, что ; и , получаем систему и её решение

Проверяем выполнение уравнения (5.14):

; ; .

Составляем и исследуем выражения “единичных” изгибающих моментов по всем грузовым участкам (рис. 5.5, ж).

I грузовой участок

– наклонная прямая (0;– 0,(6)) – сжатие волокон справа.

II грузовой участок

– наклонная прямая (–0,(6); 0,(6)) – сжатие волокон снизу переходит в сжатие волокон сверху.

III грузовой участок

– наклонная прямая (0; –0,(6)) – истинное сжатие волокон снизу.

IV грузовой участок

– наклонная прямая (0; – 1,(6)) – истинное сжатие волокон справа.

V грузовой участок

–наклонная прямая (–1; – 0,(6)) – сжатие волокон справа.

По полученным данным строим II “единичную” эпюру изгибающих моментов со стороны сжатых волокон (рис. 5.5, з). Проверяем равновесие узлов рамы:

; ; .	; ; .	; ; .

Рис. 5.8. Статическая проверка эпюры

 

Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Метода сил

Система уравнений (5.3) для случая принимает вид

Податливости и перемещения от нагрузки находим по формулам (5.4) – (5.6). Так как изгибные жёсткости всех стержней рамы одинаковы, принимаем для простоты :

;

;

;

; .

Проверяем правильность вычисления коэффициентов. С этой целью строим суммарную “единичную” эпюру , складывая алгебраически значения моментов в характерных точках (если ординаты и по одну сторону от оси, то складываем их, а если по разные стороны, то вычитаем их и разность откладываем со стороны большей ординаты) (рис. 5.5, л). Умножаем полученную эпюру саму на себя, а также на грузовую эпюру изгибающих моментов . Находим

;

.

Проверяем выполнение тождеств и :

≃ .

Относительная погрешность % – высокая точность вычислений.

; .

Решение системы канонических уравнений

Подставляем найденные коэффициенты в уравнения (5.3) и решаем полученную систему относительно дополнительных неизвестных и :

Проверяем правильность решения путём обратной подстановки в систему

≃0;

≃0.

 

Вычисление опорных реакций для заданной схемы

Используя принцип суперпозиции, находим по формуле (5.7):

;

;

;

; ;

.

Проверяем правильность реакций путём подстановки в уравнение (5.14): ; ≃60.

 

Построение эпюры изгибающих моментов

Для заданной схемы рамы

Вначале строим исправленные эпюры моментов для основной системы путём преобразования “единичных” эпюр

; ,

т. е. все характерные ординаты эпюры умножаем на значение и откладываем по другую сторону от оси, так как значение отрицательно. Аналогично поступаем с эпюрой . Исправленные эпюры показаны на рис. 5.5, и и 5.5, к.

Окончательную эпюру изгибающих моментов в заданной системе получаем, используя формулу (5.8):

.

Сложение по характерным точкам производим аналогично построению суммарной “единичной” эпюры . Результирующая эпюра показана на рис. 5.5, л.