Энергия в спектре непериодического сигнала

 

Для получения выражения для непериодического сигнала воспользуемся выражением, которое при выполнении условия f(t)=g(t)=s(t), определяет полную энергию сигнала

Это важное соотношение, устанавливающее связь между энергией сигнала (выделяемой на сопротивлении 1ом) и модулем его спектральной плотности, известно под названием равенство Парсеваля. Величина имеет смысл энергии приходящейся на 1 Гц и рассматривается как спектральная плотность энергии.

 

Энергия данного сигнала:

2.5 Некоторые свойства преобразований Фурье

Между сигналом s(t) и его спектром S(ω) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим следующие, наиболее важные: сдвиг сигнала во времени, изменение масштаба времени, сложение сигналов, дифференцирование, интегрирование сигнала.

 

Сдвиг сигнала во времени

Пусть сигнал s₁(t) произвольной формы существует на интервале времени от t₁ до t₂ и обладает спектральной плотностью S₁(ω). При задержке этого сигнала на время t₀ получим новою функцию времени s(t₂)=s(t – t₀), существующую на интервале от t₁+t₀ до t₂+t₀.

Спектральная плотность сигнала s₂(t) равна

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s(t) на ±t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектра S(ω) на величину ±ωt₀. Амплитудно-частотная характеристика спектра от положения сигнала на оси не зависит.

 

Сдвиг сигнала во времени осуществляется на величину 0.1Т = 0,169с

Рисунок 7 – ФЧХ исходного (Q(w)) и задержанного (Q1(w)) сигналов

 

Вывод:

Сдвиг во времени функции s(t) на ±t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектра S(ω) на величину ±ωt₀. Амплитудно-частотная характеристика спектра от положения сигнала на оси времени не зависит.

 

Изменение масштаба времени

Пусть сигнал s₁(t) подвергается сжатию во времени. Новый сжатый сигнал s₂(t) связан с исходным соотношением s₂(t)=s₁(nt), n>1.

Спектральная плотность сжатого импульса

n= 2

Рисунок 8 – АЧХ исходного(S(w)) и сжатого S1(w) сигналов

 

 

Рисунок 9 – ФЧХ исходного(S(w)) и сжатого S1(w) сигналов

 

Вывод:

При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшится в n раз.

 

Дифференцирование и интегрирование сигнала

Дифференцирование сигнала s₁(t) можно трактовать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная функции е^iωt равна iωe^iωt, из чего непосредственно вытекает следующие соответствия:

Рисунок 10 – АЧХ исходного (S(w)) и интегрированного (Si(w)) сигналов

 

Рисунок 11 – АЧХ исходного (S(w)) и дифференцированного (Sd(w)) сигналов

 

 

Рисунок 12 – ФЧХ исходного (S1(w)), дифференцированного (Sd(w)), интегрированного (Si(w)) сигналов

 

Выводы:

Спектр продифференцированного сигнала отличается от спектра исходного сигнала множителем iω. При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала.

При интегрировании происходит ослабление высокочастотных спектральных составляющих.

 

 

Сложение с прямоугольным импульсом

А = 0. 11 В, τ = 1.3с, tи = 1,69с

 

Рисунок 13 – АЧХ исходного сигнала (S(w)), прямоугольного импульса (S1(w)) и суммарного сигнала (As(w))

Рисунок 14 - ФЧХ исходного сигнала (Q(w)), прямоугольного импульса (Q1(w)) и суммарного сигнала (Qs(w))

Вывод:

Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сложении сигналов s₁(t), s₂(t),…, обладающих спектрами S₁(ω), S₂(ω),…, суммарному сигналу s(t)=s₁(t) + s₂(t) + … соответствует спектр S(ω)=S₁(ω) + S₂(ω) + ….

 

 

Расщепление сигнала

Возьмём ω₀= 100

Рисунок 15 – АЧХ исходного (S(w)) и расщепленного (S1(w)) сигналов

 

Рисунок 16 – ФЧХ исходного (S(w)) и расщепленного (S1(w)) сигналов

Между сигналом и его спектром существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из возможных преобразований сигнала рассмотрим следующие наиболее важные и часто встречающиеся: сдвиг сигнала во времени, изменение масштаба времени, дифференцирование и интегрирование сигнала, сложение и произведение сигналов.