Тема « элементы терии вероятностей, комбинаторики и математической статистики »

Тема «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

 

 

 

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника.

Данная рабочая тетрадь разработана с учётом того, что в рабочей программе дисциплины «математика» на тему «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» отводится 10-12 часов.

Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух типовых задач по каждой теме.

Основная задача учебно-методического комплекса – способствовать формированию у студентов прочных знаний по теме «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ», в частности при вычислении и упрощении выражений, содержащих  понятия комбинаторики, при решении задач теории вероятностей.

 

Разработчик: Решетникова Яна Евгеньевна, ГАПОУ СО «Каменск-Уральский техникум торговли и сервиса»

Введение

Данная рабочая тетрадь  может использоваться как самостоятельно (так как в тетрадь включены не только множество заданий разной степени сложности, но и все необходимые определения, подробные примеры и пояснения к ним), так и совместно с учебниками:

§ «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;

§ «Алгебра и начала анализа 10класс» Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., М:Мнемозина;

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника. Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух типовых задач по каждой теме.

В данной рабочей тетради использованы различные формы изложения материала. Для изучения нового материала рабочие тетради оформлены как полноценный конспект, в котором есть и теория, и примеры решённых заданий, и задания для самостоятельного выполнения. Учебные пособия - рабочие тетради, разработаны так, что по алгоритму и количественной части решённого, а также с учетом возрастания сложности необходимо выполнить задание. При выполнении данных заданий требуются умения систематизировать, сравнивать, анализировать предложенную информацию, применять имеющиеся знания и умения в нестандартной ситуации. Причём информация представлена в различных видах (схемы, таблицы и тд.). Задание так же имеют разную формулировку и различны по своему характеру: вводные, пробные, по образцу, творческие. Помимо упражнений и заданий в тетради включены и справочные материалы.

Использование рабочей тетради в учебном процессе позволяет осуществить: во-первых, достижение уровня обязательной математической подготовки; во-вторых сформировать умение применять полученные знания в несколько отличных от обязательных результатов обучения ситуациях; в – третьих ведёт к повышению активности и самостоятельности, планированию собственной деятельности.

Операции над событиями.

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1,..., m.

 

 

 

  2. Событие C  называется произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1,..., m.

 

  3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

 

  4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.

Формулы де Моргана:     и

 

 

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.

C=A×B=V

Тут V - пустое множество.

 

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Р(А) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Р (А) = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

0 < Р(A) < 1.

Пример: Решить задачу:

В группе 15 студентов. Из них 8 юношей, 7 девушек. Какова вероятность выхода из кабинета девушки Р₁(А), какова юноши Р₂(А)?

Решение:

Пусть n – (число возможных исходов) –количество студентов в группе, тогда n=15

m₁=7 - число благоприятных исходов выхода девушек;

m₂=8 - число благоприятных исходов выхода юношей;

Вероятность выхода девушек из кабинета:

Вероятность выхода юношей из кабинета:

Ответ: Р₁(А)=0,47 Р₂(А)=0,53

Задание 1: Решить задачу:

Задача 1: В ясельной группе 8 девочек и 5 мальчиков. Какова вероятность уснуть первой девочке?

Задача 2: На автобусной остановке стоят 24 человека. 15 человек стоят в куртках, а остальные в пальто. Какова вероятность, что в автобус первым зайдёт человек в пальто?

Задача 3: В мешке 35 яблок. 2 зелёных и 33 красных. Какова вероятность вытащить первым зелёное яблоко?

 

Перестановки

Определение Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок:

                                                 Р_п = п! (n факториал)

                                               п!=1∙2∙3∙4∙…….∙n

Пример1: Вычислить 7!

Решение:

7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040

Ответ: 7! =  5040

Пример2: Вычислить

Решение:

Ответ: =2517

Задание 1: Найти ошибку:

Задание 2: Вычислить:

1)                                   4)

2)                                   5)

3)                                 6)

                                7)

 

Пример 3: Упростить:

Задание 3: Упростить

1)                            2)                       3)

4)

Размещения

Определение: Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений

                           

Пример1: Вычислить

Задание 1: Вычислить

1)                                2)

2)                         3)

Пример 2: Решить задачу:

В группе студентов 15 человеке. Формируется бригада из 4 человек для участия в олимпиаде по математике. Какое число вариантов возможно?

Решение:

Ответ: 32760 вариантов.

Задание 2: Решить задачу:

Задача 1: В ясельной группе из 13 человек требуется выбрать 4 человек для чтения стихов на утреннике, посвящённому Дню защиты детей. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 2: На остановке стоят 24 человека. 13 из них собираются ехать на троллейбусе, остальные на автобусе. Какое количество вариантов собрать группу из людей стоящих на остановке, которая поедет в автобусе?

Задача 3: Какое количество вариантов выбрать из мешка с 35 яблоками 21 зелёное?

Сочетания

Определение: Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов).

Число сочетаний

                           

Пример 1: Вычислить

      

Задание 1: Вычислить

1)                                2)

3)                         4)

Пример 2: Решить задачу

В студенческой группе из 15 человек требуется найти пару учащихся для поощрения стипендией. Какое количество сочетаний возможно?

Решение:

вариантов

Ответ: 105 вариантов

Задание 2:  Решить задачу:

Задача 1: В ясельной группе из 13 человек нужно выбрать 3-х человек для наблюдения за остальными детьми, чтобы они не ели зубную пасту в ванной комнате. Какое количество сочетаний возможно?

Задача 2: Из стоявших на остановке 24 человек нужно выбрать 6-х, которые не влезут в маршрутное такси. Какое сочетание людей возможно?

Задача 3: Из мешка с 35 яблоками нужно выбрать пару яблок (зелёное и красное). Какое количество сочетание возможно?

                                  

Пример 3: Доказать, что

+6 +6 =n³

Решение:

 

 

+6 +6 =n+6∙ (n²-n)+6∙ (n³-3n²+2n)= n+3n²-3n+n³-3n²+2n=n³

n³= n³

Задание 3: Доказать, что

1) 2 + =n²

2) 6 +6 =n∙(n²-1)

 

Дисперсия

 

Определение: Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

                                        D (X) = M (X – M (X))².                                               

Замечание 1. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии:

D (X) = M (X ²) – M ²(X)

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

                                 D (C) = 0.                                                                 

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D (CX) = C ² D (X)

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

                                      D (X + Y) = D (X) + D (Y).                                    

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

                                  D (X – Y) = D (X) + D (Y).                                                    

Линейный график

 

Линейный график – это такая форма предъявления информации, посредством которой показывается динамика изменений одних показателей под влиянием изменения других.

На осях абсцисс и ординат фиксируются измерения показателей зависимых друг от друга факторов.

 

Диаграмма

 

Диаграмма – разновидность плоскостных графиков.

Виды диаграмм:

1). Столбиковая диаграмма, изображает зависимость величин в виде прямоугольников одинаковой ширины, вытянутых вверх. Высота столбика соответствует изображаемой величине. Количество столбиков зависит от количества и времени сделанных замеров.

2). Секторная диаграмма - это круг, разделённый на секторы в соответствии с изображаемыми ими величиной.

3). Диаграмма Венна – это геометрическое изображение отношений объёмов понятий или других величин между собой посредством пересекающихся или входящих друг в друга контуров.

Схема

 

Схемы – это плоскостные фигуры (многоугольники, прямоугольники, круги) с надписями и линиями связи. Это приближённый наглядный образ устройства чего бы то ни было, структурная характеристика состояния чего-то.

Виды схем

 

	Схемы управления, когда рисуется структура управления каким-то объектом.		Функциональные схемы, близкие к схемам управления, но раскрывающие линии и направления зависимости составных частей.		Табличные схемы – схемы с указанием точных данных об объекте схематизации.		Схемы построения, раскрывающие структуру чего – либо.

 

 

Таблица в исследовании

 

Таблица – это графическая форма представления количественных показателей или терминологических описаний в предельно сжатой форме. Она строится на основании функциональных зависимостей каких- либо данных и потому может интерпретироваться и предоставлять новую информацию.

    Таблицы состоят из текстов и цифровой части. Текстовая часть – это заголовки разделов. Цифровая часть – числа и их соотношение. На скрещивании вертикальных столбцов и горизонтальных строчек устанавливается смысловая связь между понятиями.

Виды таблиц:

1). Простая таблица, содержащая перечень данных об одном явлении.

2). Групповая таблица, содержащая перечень данных об одном явлении, но это явление делится на 2 признака.

3). Комбинированная таблица, содержащая перечень данных об одном явлении, но это явление делится на несколько признаков.

4). Шахматная таблица, где вертикальное деление одинаково с горизонтальным по содержанию.

        

 

Основные понятия математической статистики

Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений.

Двумя основными задачами математической статистики являются:

- определение способов сбора и группировки этих статистических данных;

- разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования;

Основные понятия математической статистики

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматриваемой совокупности.

 

Практическая работа

Задание 1: Постройте линейный график по следующим данным:

В 2002 году в Каменске-Уральском родилось 1500 ребёнка;

В 2003 году в Каменске-Уральском родилось 1560 ребёнка;

В 2004году в Каменске-Уральском родилось 1660 ребёнка;

В 2005 году в Каменске-Уральском родилось 1780 ребёнка;

В 2006 году в Каменске-Уральском родилось 1830 ребёнка;

В 2007году в Каменске-Уральском родилось 1870 ребёнка;

В 2008 году в Каменске-Уральском родилось 2110 ребёнка;

По графику определите, в каком году был наибольший прирост населения.

Примечание: По оси ординат откладывайте «года», по оси абсцисс – количество детей. Шкалу возьмите от 1400 до 2200.

 

Задание 2: По столбиковой диаграмме постройте простую таблицу

 

                     2005г.  2006г.       2007г.      2008г.        2009г.

              

Задание 3: По линейному графику постройте простую таблицу

 

 

Задание 4: По таблице постройте столбиковую диаграмму:

 

Состав семей учащихся
годы	неблагополучные семьи	малообеспеченные семьи	многодетные семьи
1996-2001	11%	23%	8%
2002-2007	27%	32%	9%

 

Самостоятельная работа

I вариант	II вариант
1) Вычислить
2) Решить задачу
Из группы людей в количестве 20 человек нужно выбрать подгруппу в количестве 7 человек. Сколькими сочетаниями это возможно сделать?	Из группы людей в количестве 10 человек нужно выбрать подгруппу в количестве 7 человек. Сколькими вариантами это возможно сделать?
3) Упростить
4) Решить уравнение при х>0
2
5) Решить задачу
Какова вероятность того, что при 7 подбрасываниях кубика число пять появится ровно 3раза?	Какова вероятность того, что при 8 подбрасываниях кубика число один появится ровно 5раз?

 

 

I вариант	II вариант
6) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины заданной таблицей распределения
Х 1 3 5 6 9 Р 0,1 0,3 0,4 0,7 0,2	Х 2 4 5 7 8 Р 0,2 0,4 0,4 0,6 0,9
7) Вычислить сумму и разность дисперсий Х и Y, а также найти их квадратическое отклонение
Х 2 3 4 Р 0,2 0,5 0,3   Y 1 5 8 Р 0,1 0,3 0,4	Х 1 4 5 Р 0,6 0,3 0,1   Y 6 9 11 Р 0,1 0,2 0,3
8) Построить статистическое распределение и начертить полигон
Студенты сдавали экзамен, были получены следующие результаты -баллы: 12,15,16,25,23,23,24,16, 18,26,23,24,25,16,15,18, 12,23,25,26,18,16,25,25	Отслеживая изменения температуры каждый час, были получены следующие результаты измерения температуры: 16,23,24,18,23,24,25,17 15,23,26,27,22,18,19,22 23,24,23,18,19,20,20,22

 

 

Тема «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ»

 

 

 

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника.

Данная рабочая тетрадь разработана с учётом того, что в рабочей программе дисциплины «математика» на тему «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» отводится 10-12 часов.

Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух типовых задач по каждой теме.

Основная задача учебно-методического комплекса – способствовать формированию у студентов прочных знаний по теме «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ», в частности при вычислении и упрощении выражений, содержащих  понятия комбинаторики, при решении задач теории вероятностей.

 

Разработчик: Решетникова Яна Евгеньевна, ГАПОУ СО «Каменск-Уральский техникум торговли и сервиса»

Введение

Данная рабочая тетрадь  может использоваться как самостоятельно (так как в тетрадь включены не только множество заданий разной степени сложности, но и все необходимые определения, подробные примеры и пояснения к ним), так и совместно с учебниками:

§ «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., М:Просвещение;

§ «Алгебра и начала анализа 10класс» Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И., М:Мнемозина;

Структура рабочей тетради соответствует структуре учебного пособия; уровень заданий соответствует требованиям, предъявляемым федеральной программой к уровню математической подготовки обучающихся; система заданий дополняет и расширяет систему заданий учебника. Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы, а также набор заданий для самостоятельной работы. Обязательно включено решение одной, двух типовых задач по каждой теме.

В данной рабочей тетради использованы различные формы изложения материала. Для изучения нового материала рабочие тетради оформлены как полноценный конспект, в котором есть и теория, и примеры решённых заданий, и задания для самостоятельного выполнения. Учебные пособия - рабочие тетради, разработаны так, что по алгоритму и количественной части решённого, а также с учетом возрастания сложности необходимо выполнить задание. При выполнении данных заданий требуются умения систематизировать, сравнивать, анализировать предложенную информацию, применять имеющиеся знания и умения в нестандартной ситуации. Причём информация представлена в различных видах (схемы, таблицы и тд.). Задание так же имеют разную формулировку и различны по своему характеру: вводные, пробные, по образцу, творческие. Помимо упражнений и заданий в тетради включены и справочные материалы.

Использование рабочей тетради в учебном процессе позволяет осуществить: во-первых, достижение уровня обязательной математической подготовки; во-вторых сформировать умение применять полученные знания в несколько отличных от обязательных результатов обучения ситуациях; в – третьих ведёт к повышению активности и самостоятельности, планированию собственной деятельности.