Ранги еквівалентних матриць рівні.

Означення 13

Матриця розмірів m х n, рангу r 1 називається трапецієподібною, якщо існує таке натуральне число l       (l  ), що

1. Елементи а ₁₁, а ₂₂,... а_ll  не дорівнюють нулю;

2. Якщо l<m, то елементи стовпців, що стоять під елементами а ₁₁, а ₂₂, а _33, ... а _ln , дорівнюють нулю; якщо l=m, то дорівнюють нулю елементи стовпців, що стоять під елементами а ₁₁, а ₂₂,... а _l-1l-1. Трапецієподібна матриця має вигляд

Теорема 2

Ранг трапецієподібної матриці дорівнює кількості ненульових рядків.

Обчислення рангу матриці способом знаходження елементарними перетвореннями еквівалентної даній трапецієподібної матриці.

 

Приклад 6

Обчислити ранг матриці А= .

 

Виконаємо такі елементарні перетворення матриці А. Переставимо місцями 1-й і 3-й стовпці матриці А, отримаємо:

.

Додамо до елементів 2-го рядка елементи 1-го, а до третього елементи 1-го рядка, помножені на число – 5, тоді матимемо:

.

Додаючи до елементів 3-го рядка елементи другого, помножені на 3, дістанемо:

.

Здобули трапецієподібну матрицю, для якої . Отже, r(A) = 2.

Означення 1 4

Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці А, якщо АС=СА=Е, де Е – одинична матриця n- го порядку. Матриця, обернена до матриці А позначається через А^-1. Квадратна матриця А порядку n називається особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо 0, то А називається неособливою.

Теорема 3

Особливі матриці обернених не мають. Кожна неособлива матриця має обернену матрицю, що обчислюється за формулою:

А^{- 1} = , де А_ij  –

алгебраїчне доповнення елемента а_ij матриці А.

 

Приклад 7

Для даної матриці А=  знайти обернену і виконати перевірку.

 

1. Обчислимо визначник даної матриці.

= =2 - 3 + 5 = 2(5–9) –3(20–     –9)+5(12–3)=–8–33+45=4, як бачимо , тому існує обернена матриця.

2. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці.

А ₁₁= (–1)¹⁺¹ = 5–9 = –4.

А ₁₂= (–1)¹⁺²  = – (20–9) = –11.

А ₁₃= (–1)⁴  =12–3 =9.

 

А ₂₁= (–1)³  = – (15–15) =0.

А ₂₂ = (–1)⁴ = (10–15) =–5.

А ₂₃ = (–1)⁵ = – (6–9) =3.

А ₃₁ = (–1)⁴ = 4.

А ₃₂ = – (–14) =14.

А ₃₃ = –10.

 

3. Запишемо обернену матрицю за формулою:

А ^-1 =

4. Перевірка. А ^-1∙ А = =

 

= = = = = Е.

Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання систем.

У загальному випадку система лінійних рівнянь має вигляд:

Тут х ₁, х ₂,... х _n – невідомі, які треба знайти; а_ij – сталі числа , їх називають коефіцієнтами системи; b ₁, b₂, … b _m – сталі числа, їх називають вільними членами. Розв’язком системи називають будь-яку сукупність чисел с ₁, с_2, ... с _n , яка при підстановці замість невідомих перетворює всі рівняння системи в тотожності. Систему називають сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, коли не має розв’язків. Систему n лінійних рівнянь з n невідомими можна записати в матричному вигляді. Якщо

А= , Х= , В = , то A∙Х=В

                                                          

Знайдемо Х, для цього обидві частини матричного рівняння помножимо на матрицю А ^-1: А ^-1 АХ = А ^-1 В, одержимо Х = А ^-1 В.

 

Приклад 8

Розв’язати систему лінійних рівнянь:

 

1. Матриця системи, матриця вільних членів мають вигляд:                                             

А= , В=

2. Знайдемо обернену матрицю А ^-1 за формулою

А ^-1= , обчисливши визначник та алгебраїчні доповнення елементів матриці.

= 1(4–0) –1(8–3)+2(0–1)= 4–5–2= –3

А ^-1=    Х = А ^-1. В = – =

 

= = = .

Отже,