Вторая интерполяционная формула Ньютона

 

Для интерполирования в конце таблицы обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона.

Пусть на [ a, b ] даны n + 1 различные значения аргумента х ₀, х ₁, …, х _{n ,}, которым соответствуют следующие значения

 

; ; …;  ,

 

а шаг интерполяции постоянен и равен h, т.е.  .

Построим интерполяционный многочлен вида

 

В этом многочлене неизвестны коэффициенты а ₀, а ₁, а ₂, …, а _n. Их надо подобрать так, чтобы были возможны равенства:

; ; …;  .

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

 .

Коэффициент а ₀ найдем, положив х = х _n  в равенстве (7.4)

 

откуда

 

Отсюда, полагая х = х _{n - 1}   имеем  , следовательно

.

Из выражения для второй конечной разности имеем а ₂

 

 

Полагая х = х _{n - 2}, получим

 ,

откуда

 ,   .

Подставляя найденные значения коэффициентов, получим:

 

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Положим        q = (x - x_n) / h, тогда

 

 ;   ;

 

(7.5)

 

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполирования в начале отрезка [ a, b ], а вторая – на конечном участке таблицы.

 

 

Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

 

Оценка погрешности для интерполяционной формулы Лагранжа:

 

.

 

Если все узлы интерполяции равноотстоящие, то, введя шаг  и полагая  , получим оценку погрешности для первой интерполяционной формулы Ньютона(7.4)

 

,

где Î отрезку интерполяции [ x ₀, x_n ].

Аналогичным образом, для второй интерполяционной формулы Ньютона с равноотстоящими узлами интерполяции, полагая , получим оценку погрешности

,

где  .

 

 

ЛЕКЦИЯ 8. ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

 

 

В тех случаях, когда нет необходимости в отыскании приближенного аналитического выражения функции y = f (x), заданной таблично, требуется лишь определить значение функции в точке, отличной от узла интерполяции, удобно использовать последовательную линейную интерполяцию по Эйткину.

 

Интерполирование по Эйткину

Вычисление значения функции в точке, отличной от узлов интерполяции, начинается с вовлечения в счет двух узлов интерполяции с последующим включением в схему новых узлов интерполяции.

Пусть некоторый интерполяционный многочлен F (x) степени n принимает в узлах интерполяции х ₀, х ₁, …, х _n значения

 

 

; ; …;   .

 

 

Воспользовавшись формулой Лагранжа для случая линейной интерполяции, на отрезке [ x ₀, x ₁] интерполяционное значение функции можно вычислить по формуле

 

,                     (8.1)

 

на отрезке [ x ₁, x ₂]

 

     ,                  (8.2)

 

 

и, наконец, на отрезке [ x ₀, x ₂] по формуле

 

     .                 (8.3)

 

Далее заменим у ₀ и у ₂ в формуле (8.3) соответственно на F _{0, 1}(x) и F _{1, 2}(x).

 

Получим следующее выражение

 

,

 

или

.