Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Действия над линейными операторами
Пусть в линейном пространстве действуют два линейных оператора . Суммой линейных операторов называется оператор , действие которого на любой вектор х ÎL задается равенством
Сумма линейных операторов является линейным оператором, а матрица суммы линейных операторов (в любом базисе) равна сумме матриц этих операторов, т.е. Произведением линейного оператора на число aÎR называется оператор , действие которого на любой вектор х ÎL задается равенством
Произведение линейного оператора на число является линейным оператором, а матрица произведения этого оператора (в любом базисе) равна произведению матрицы оператора на число , т.е. Теорема 2. Множество всех линейных операторов, действующих в линейном пространстве , с введенными операциями сложения операторов, и умножения оператора на число образует линейное пространство. Произведением линейных операторов называется оператор , действие которого на любой вектор х ÎL задается равенством
Произведение линейных операторов является линейным оператором, а матрица этого оператора (в любом базисе) равна произведению матриц операторов , т.е. Свойства операции умножения операторов Для любого числа и для любых линейных операторов : 1) 3) 2) 4) 5) Определение8. Линейный оператор называется обратным к линейному оператору , если выполняются равенства где - тождественный оператор. Теорема 3. Для того чтобы существовал обратный оператор к линейному оператору , необходимо и достаточно, чтобы матрица оператора в каком-нибудь базисе была невырожденной (при этом она будет невырожденной в любом другом базисе). Если - матрица оператора в базисе , то матрица обратного оператора в том же базисе равна , т.е. является обратной по отношению к матрице .
Решение типовых примеров и задач 1. Выяснить, является ли оператор линейным, если вектор Решение. Пусть , а Тогда , . По определению операций над векторами: , . Найдем образы векторов и :
; aj(х). Так как и , то оператор является линейным.
2. Найти матрицу линейного оператора , где , в том базисе, в котором даны координаты векторов .
Решение. Выразим связь между координатами вектора образа и вектора прообраза :
Пусть Х= , , . Тогда в матричной форме последняя система имеет вид или , откуда следует, что матрица оператора определяется как .
3. В пространстве действует линейный оператор , заданный в базисе матрицей Найти координаты образа вектора и координаты прообраза вектора Решение. а) Найдем координаты образа вектора , используя формулу (1):
б) Найдем координаты прообраза вектора по той же формуле (1):
Решив последнюю систему, получим х1=0, х2=0, х3=1, т.е. . 4. Матрица линейного оператора в базисе имеет вид Найти матрицу этого оператора в базисе , если Решение. Воспользуемся формулой (2): где - матрица перехода от базиса к базису В/ (см.пр.зан.№10): Найдем матрицу , обратную для матрицы (см.пр.зан.№3): Тогда по формуле (2) получим:
5. Пусть оператор в базисе имеет матрицу , а оператор в базисе , где имеет матрицу . Найти матрицы операторов и в базисе . Решение. По определению и , где и - матрицы операторов и в базисе В¢ соответственно. По условию . Найдем матрицу Аj оператора в базисе В¢ по формуле (2): где - матрица перехода от базиса к базису В¢. По условию . Следовательно, . Тогда ; . Практическое занятие № 13
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 67; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.8.222 (0.017 с.) |