Лекции 4 семестра по направлению 210700

Лекции 4 семестра по направлению 210700

Тема 1. Спектральное представление колебаний

Лекция 1

Лекция

Теорема о сдвиге.

     Если дан смещенный во времени сигнал  (запаздывание на t₀), то Фурье – преобразование от этого сигнала будет:

                          , где .        (2.3)

Таким образом, смещенный сигнал имеет спектральную плотность, отличающуюся лишь спектральной плотностью фаз.

Теорема о свертке.

     Если заданы два сигнала  и известны их спектральные плотности , то Фурье-преобразование произведения сигналов равно:

.                                           (2.4)

.                                                        (2.5)

Интегралы в этих выражениях называются свертками.

Теорема о масштабе (подобии).

     Если известен сигнал и его спектральная плотность, то Фурье-преобразование равно , где k – коэффициент.

Теорема о модуляции.

     Если известен сигнал  и его спектральная плотность , то Фурье-преобразование равно: .

Таким образом, при умножении сигнала на  его спектр сдвигается по оси частот на величину .

Теорема Парсеваля.

Если заданы два сигнала с известными спектральными плотностями, то их скалярное произведение равно:

.

       Частный случай  приводит к следующему равенству (иногда называют равенством Релея):

                   .             (2.6)

       Физический смысл этого равенства заключается в том, что энергию сигнала можно определить по спектральной плотности. Поэтому, если сравнить спектральные плотности сигнала до обработки и после можно судить об энергетических искажениях при обработке

 2.1. Спектральная плотность сингулярных сигналов

 

Элементарные сигналы (функции) часто используются для описания более сложных, например, цифровых сигналов. Это позволяет производить с ними различные операции по правилам непрерывных сигналов, что существенно облегчает анализ. Наибольший интерес представляют элементарные сингулярные сигналы, т.е. сигналы, имеющие разрывы непрерывности. Рассмотрим основные из них.

Единичная функция. (рис. 2.2)

                                          

Рис. 2.2

 

Аналитическое описание единичной функции, которая еще называется функцией Хевисайда или функцией включения, имеет следующий вид:

                                                          (17.1)

Таким образом, единичная функция - это «скачок» от 0 до 1 в момент t = 0 (для определенности считают )

Прямое определение спектральной плотности единичной функции невозможно, поскольку она не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Однако, можно найти ее спектральную плотность, воспользовавшись предельным переходом и линейностью преобразования Фурье. Находим:

                

Единичный прямоугольный импульс определяется аналитической записью следующего вида:

                                         

где  – длительность импульса.

 

                               

Рис.2.3

 

Спектральная плотность прямоугольного импульса находится непосредственно из прямого преобразования Фурье. Получим:

                                     

При описании сигналов иногда используют, так называемый, единичный импульс r(t), имеющий единичную амплитуду и бесконечно малую длительность. Единичный импульс связан с прямоугольным импульсом следующим соотношением:

 

Дельта–функция (рис. 2.4).

                                         

 Рис. 2.4

 

Аналитическая запись  функции, которая также называется функцией Дирака, имеет следующий вид:

                                         

Дельта-функция связана с единичной функцией очевидным соотношением:

                                     ,                                                  

т.е. она выражает скорость изменения . Поэтому их размерность отличается множителем 1/с (если  -безразмерна, то  - имеет размерность [1/с]).

-функция обладает двумя важными свойствами:

                                       .                

Последнее свойство называется “фильтрующим свойством” -функции. Из этого свойства непосредственно следует спектральная плотность -функции:

                                                                           (2.7)

Для описания сигналов иногда используют связь между -функцией и единичным импульсом:

                                 .                                                    

Используя выражение (2.7) и свойство линейности преобразования Фурье легко найти спектральную плотность постоянного во времени сигнала, т.е. когда s(t) = 1 при . Находим:

                                 ; .                            

Поскольку единичную функцию можно представить суммой , где sign(t) – функция знака, т.е. функция, определяемая следующим соотношением:

                                 ,

постольку спектральную плотность единичной функции иногда представляют в следующем виде:

                                                                                       

       Таким образом, особенность спектральной плотности единичной функции подчеркивается отдельным слагаемым.

Тема 2. Теория электрических фильтров

Лекция 3

Лекция 4

Схемная реализация полиномиальных фильтров

Синтез ФНЧ-прототипа ставит своей задачей найти схему фильтра и параметры всех его элементов. Схема включения нагруженного ФНЧ-прототипа, который необходимо синтезировать, показана на рис. 4.1

                                                      Рис. 4.1

Исходными данными для синтеза ФНЧ являются: f_п, кГц - граничная частота ПП;  f₃, кГц - граничная частота ПЗ;  A_{р макс}, дБ - неравномерность ослабления в ПП; A_{р мин}, дБ - минимальное ослабление в ПЗ;  R_И=R_H, Ом - сопротивление источника (генератора) и нагрузки. Синтез фильтра основан на методе Дарлингтона.

 Алгоритм  синтеза включает насколько этапов:

1. Нормализуется полоса задерживания f₃ относительно полосы пропускания f_п в соответствии с формулой W₃ =f₃/f_п .

2. Находится коэффициент неравномерности на частоте Ω_П = 1, т.е. .

3. Вычисляется число реактивных элементов ФНЧ – прототипа, на частоте Ω_З, т.е. для ФНЧ Баттерворта находим

                              ,                                                            

где                                                                                                                      

Для ФНЧ Чебышева получим

                   ,                                                                  

где .

Далее округляем n в формулах до ближайшего целого числа большего n, поскольку число элементов не может быть дробным. Например, если n =3,1, то выбираем n =4.

4. Для определения передаточной функции ФНЧ – прототипа находятся полюсы передаточной функции в соответствии со следующими формулами:

Для ФНЧ Баттерворта

 где  k =1,2,...,n.              

Для ФНЧ Чебышёва

                                

где k =1,2,...,n,

5. Определяется рабочая передаточная функция ФНЧ – прототипа Н_Р (р) путем представления знаменателя в виде произведения постоянной и n линейных множителей, поскольку ее полюсы (корни знаменателя) определены. Далее знаменатель передаточной функции, который является полиномом Гурвица, можно представить в виде полинома степени n.

6. Находится входное операторное сопротивление нагруженного ФНЧ в виде дробно-рациональной функции следующего вида

                                          ,                                           

где коэффициент отражения определяется найденной рабочей передаточной функцией в соответствии с уравнением

                              .                               

7. Формула входного операторного сопротивления раскладывается  в цепную дробь. Причем, если первым элементом фильтра является индуктивность, то

                                               

Если первым элементом фильтра является емкость, то раскладываем её в цепную дробь следующего вида

                                                                       

При ускоренном синтезе вместо Z_BX(p) строят операторное входное сопротивление только половины фильтра Z_BX2(p).

8. В зависимости от четности или нечетности n получают схему фильтра с нормированными параметрами. На рис. 31.2 показана схема ФНЧ с четным числом элементов, например, шестого порядка

                                                                  Рис. 4.2

       На рис. 4.3 приведена схема ФНЧ с нечетным числом элементов, например, пятого порядка.

                                                             Рис. 4.3

 Нормированные величины на приведенных схемах, обозначены штрихом сверху.

9. Производится денормирование элементов фильтра.

Только в случае чётного порядка ФНЧ Чебышёва при разложении в цепную дробь может получиться, что R^’_Н ¹1. Это означает, что сопротивление R₀ не может быть равным R_H.

Пусть, например, получено R^’_Н= a ¹1. Для того, чтобы сопротивление нагрузки оказалось равно заданному, денормирование следует проводить по следующим формулам (вместо R_H следует подставлять R_H /a)

                                                    

10. Строится график функции рабочего ослабления A_p(W), по которому проверяется выполнение данных, заданных для синтеза

Нормирование сопротивления и частоты приводит к нормированию индуктивности и емкости в схеме фильтра. Нормированные величины, обозначенные штрихом сверху, будут безразмерными. Для перехода к реальным значениям величин используют операцию денормирования, т.е. денормирование это переход от нормированной к исходной величине по следующей общей формуле

                              ,                                                                     Соответственно для элементов фильтра получим следующие формулы перехода

, ,                                            

                                              

       Коэффициенты денормирования совпадают по размерности с исходными величинами.

       , ,                          

 

      Нормирование позволяет получить расчетные формулы в общем виде, пригодном для различных значений граничных частот и сопротивлений нагрузки.

       Пусть в результате синтеза ФНЧ – прототипа получена схема рис. 4.4

                                                      Рис. 4.4

       На этой схеме представлен ФНЧ пятого порядка с нормированными параметрами.

      Преобразование схемы ФНЧ – прототипа в схему необходимого фильтра при преобразовании шкалы частот производится путем интерпретации каждого элемента прототипа в новое схемное качество в соответствии с таблицей  4.1.

                                                                                                            Таблица 4.1

Исходная схема   ФНЧ
Схема согласно подстановке ФВЧ
Схема согласно подстановке     ПФ
Схема согласно подстановке   РФ

 

Лекция 6

Лекция 7

Лекция 8.

Лекция 9

Лекции 4 семестра по направлению 210700

Тема 1. Спектральное представление колебаний

Лекция 1