Характеристики случайных величин

Для каждого значения x случайной величины X существует вероятность P (X<x)того, что X меньше x. Зависимость F (x) = P (X<x)называется функцией распределения или функцией вероятности случайной величины X. Функция F (x)в пределах изменения случайной величины изменяется от 0 до 1.

Если случайной величиной X является наработка до отказа, то функция распределения этой величины равна вероятности возникновения отказа Q (x) в течение наработки x:

F (x) = P (X < x) = Q (x).

Вероятность безотказной работы P (x), т.е. вероятность P (X ³ x) того, что наработка X до отказа больше или равна значению x:

Р (x) = P (X ³ x) = 1 – Q (x) = 1 – F (x),

Производная от функции распределения F (x) по переменной x называется плотностью распределения f (x) случайной величины X:

В теории надежности величину f (x)называют плотностью вероятности. Площадь под кривой f (x) на заданном интервале значений случайной величины равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал.

Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками.

Основной характеристикой случайной величины X является математическое ожидание M_x, величины X. С увеличением числа опытов среднее значение  случайной величины стремится к ее математическому ожиданию. Для дискретной случайной величины ее среднее значение определяется по формуле:

 или ,

где x_i – значение величины X при i -ом наблюдении; N – общее число наблюдений; g_j – число одинаковых значений x_j; Z – число отличающихся друг от друга значений x_j случайной величины X.

Математическое ожидание для непрерывных величин (вероятностная трактовка) определяется по формуле:

а для дискретных величин (статистическая трактовка) по формуле:

где р_j – вероятность появления значения x_j.

Дисперсия (рассеяние) D_x случайной величины – это величина, характеризующая отклонение случайной величины x от ее математического ожидания M_x. Она равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. В вероятностной трактовке:

В статистической трактовке:

,

где x_i; – значение величины X при i -ом наблюдении; N – общее число наблюдений; р_j – вероятность появления значения x_j; Z – число отличающихся друг от друга значений x_j случайной величины X.

Оценка дисперсии случайной величины – среднее значение квадрата отклонения этой величины от ее среднего значения:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Другая характеристика рассеяния случайной величины – среднее квадратическое отклонение s _x – имеет ту же размерность, что и случайная величина. Она равна корню квадратному из дисперсии:

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации:

Квантилью называют значение х случайной величины Х, соответствующее заданной вероятности P (Х<x).

Квантиль, соответствующая вероятности 0,5 называется медианой. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.

Модой случайной величины X называют наиболее вероятное значение этой величины.

ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ

Классификация показателей

Показатели надежности используют для количественной характеристики надежности.

Показатели надежности классифицируют:

- по способу их получения;

- по области их использования;

- по области их распространения;

- по свойствам изделий, характеризующим надежность;

По способу получения показатели надежности делятся на эксплуатационные, получаемые по данным эксплуатации; экспериментальные, получаемые по данным испытаний; расчетные, получаемые расчетными методами.

По области использования показатели надежности делятся на нормативные, используемые в нормативно-технической или конструкторской (проектной) документации; оценочные, используемые для оценки надежности по результатам испытаний и эксплуатации.

По области распространения показатели надежности делятся на индивидуальные, характеризующие надежность одного изделия; групповые, характеризующие надежность партии изделий.

По свойствам изделий, характеризующим их надежность, различают показатели надежности, приведенные в таблице 1.1: показатели безотказности, показатели долговечности, показатели сохраняемости, показатели ремонтопригодности и показатели, характеризующие комбинацию свойств (комплексные показатели).

Таблица 1.1

Классификация показателей надежности по свойствам изделий, характеризующим надежность

Свойства, характеризующие надежность	Наименование показателя	Обозначение
Безотказность	Вероятность безотказной работы	P (t)	Единичные показатели
	Интенсивность отказов	l(t)
	Средняя наработка на отказ	T0
	Средняя наработка до отказа	T ср
Долговечность	Средний ресурс	T р
	Гамма-процентный ресурс	T pg
	Назначенный ресурс	T р.н
	Установленный ресурс	T р.у
	Средний срок службы	T сл
	Гамма-процентный срок службы	T слg
	Назначенный срок службы	T сл.н
	Установленный срок службы	T сл.у
Сохраняемость	Средний срок сохраняемости	T c
	Гамма-процентный срок сохраняемости	T cg
	Назначенный срок хранения	T c.н
	Установленный срок сохраняемости	T c.у
Ремонтопригодность	Среднее время восстановления	T в
	Вероятность восстановления	P в(t в)
Комбинация свойств	Коэффициент готовности	K г	Комплексные показатели
	Коэффициент оперативной готовности	K о.г
	Коэффициент технического использования	K т.и

С помощью единичных показателей оценивают одно из свойств изделия, характеризующих его надежность. С помощью комплексных показателей  оценивают одновременно несколько таких свойств.

Показатели безотказности

Вероятность безотказной работы P (t)– вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ изделий не возникает (наработка – это продолжительность или объем работы изделия). Другими словами, вероятность безотказной работы P (t)– это вероятность того, что наработка Т изделия до отказа больше или равна заданной наработке t, т.е. вероятность P (T ³ t).

Статистическую оценку вероятности безотказной работы в течение наработки t определяют из соотношения:

 

где N _р(t) – число работоспособных изделий к концу времени t испытаний или эксплуатации; N – число изделий, поставленных на испытания или эксплуатацию; n (t) – число изделий, отказавших в течение наработки t.

Вероятность отказа:

Вероятность отказа равна функции распределения наработки до отказа F (t):

Q (t) = P (T < t) = F (t).

Распределение отказов во времени характеризуется  плотностью распределения наработки до отказа  f (t):

где D n (t)– число отказавших изделий в течение наработки D t.

Так как P (t) = 1 – Q (t), то

 

(1.1)

 

Интенсивность отказов:

,

где D n (t) – число отказов в интервале наработки [ t; t +D t)

Так как  то

(1.2)

Из формул (1.1) и (1.2) выводится одно из основных уравнений теории надежности:

Средняя наработка до отказа T _ср – это математическое ожидание наработки изделия до первого отказа.

В вероятностной трактовке:

В статистической трактовке:

где

Здесь N _р(t_i)– число работоспособных изделий к моменту наработки t_i ; N – общее число изделий, поставленных на испытание или в эксплуатацию; D t_i=t_{i +1} –t_i ; k – общее число рассматриваемых интервалов наработки.

Средняя наработка на отказ – это отношение суммарной наработки восстанавливаемого изделия к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Другими словами, средняя наработка на отказ – это математическое ожидание наработки изделия до очередного отказа после начала эксплуатации или ремонта.

Показатели долговечности

Технический ресурс (сокращенно ресурс) – наработка изделия от начала его эксплуатации после изготовления или ремонта до предельного состояния. Ресурс выражается в единицах времени работы, длины пути и в единицах выпуска продукции. Различают ресурс до первого капитального ремонта; между капитальными ремонтами; до списания (полный ресурс). Для группы изделий в технической документации указывается средний или минимальный ресурс.

Средний ресурс T _рравен:

где T _{р i} – ресурс i- го изделия; N– число изделий, поставленных на испытания.

Гамма-процентный ресурс T _рg– ресурс, обеспечиваемый с вероятностью g. Для двигателей обычно назначают и определяют 90%-й и 80%-й ресурс. Ресурс T _р50 называют медианным. При исчерпании этого ресурса половина изделий достигает предельного состояния.

Назначенный ресурс – суммарная наработка, при достижении которой работа изделия прекращается независимо от его технического состояния для проведения капитального ремонта или списания.

Установленный ресурс – значение ресурса, обусловленное конструкцией, технологией изготовления и условиями эксплуатации изделия.

Срок службы – календарная наработка до предельного состояния. Выражается обычно в годах. В отличие от ресурса срок службы включает в себя перерывы в работе изделия.

Средний, гамма-процентный, назначенный и установленный сроки службы определяются так же, как и соответствующие значения ресурса.

В технической документации обычно указываются такие показатели, как гарантийная наработка и срок гарантии.

Гарантийная наработка – это наработка изделия, до завершения которой изготовитель гарантирует и обеспечивает определенное качество изделия при условии соблюдения потребителем правил эксплуатации, в том числе правил хранения и транспортирования. Если в течение этой наработки возникнут неисправности по вине завода-изготовителя, то последний должен безвозмездно их устранить.

Срок гарантии – это календарная наработка...(далее – см. определение гарантийной наработки). Другими словами, срок гарантии – это гарантийная календарная наработка.

Если в технических условиях указывается и гарантийная наработка и срок гарантии, то изготовитель несет ответственность в пределах любой из этих величин. (Например, для автомобиля "Волга" ГАЗ-2430 гарантийная наработка 30 тыс. км пробега, а срок гарантии – 6 месяцев. Это означает, что если в пределах любой из этих величин на автомобиле возникнут неисправности по вине завода-изготовителя, то последний должен безвозмездно их устранить.)

Показатели сохраняемости.

Срок сохраняемости – календарная продолжительность хранения или транспортирования изделия, в течение которой показатели его надежности сохраняются в пределах, заданных в нормативно-технической документации.

Среднее, гамма-процентное, назначенное и установленное значения срока сохраняемости определяются аналогично соответствующим значениям срока службы.