Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Случай дискретных распределений
Рассмотрим случай оценки параметра распределения дискретной случайной величины X, вероятности значений которой определяются согласно распределению , где - неизвестный параметр, который нужно оценить по выборке . Функция называется функцией правдоподобия. Если число случаев, когда случайная величина X приняла значения равно соответственно , где - размер выборки, то функция правдоподобия . (8.1.1) Согласно методу наибольшего правдоподобия в качестве оценки неизвестного параметра принимается то значение, при котором функция правдоподобия принимает наибольшее значение для данной выборки. То есть в качестве оценки для берется наиболее вероятное значение для данной выборки. Это значение находится в результате решения уравнения . Практически удобнее находить максимум функции ln(L), тогда соответствующее уравнение примет вид:
. (8.1.2) Это уравнение принято называть уравнением правдоподобия. Решение этого уравнения дает максимум функции правдоподобия, если для него выполняется условие . Если распределение имеет два пара параметра и , то есть имеет вид , то для оценки этих параметров используются система из двух уравнений правдоподобия: . (8.1.3) При большем числе параметров число подобных уравнений соответственно увеличивается. Проиллюстрируем применение метода наибольшего правдоподобия на примерах. Пример 1. При n- кратном повторении опыта событие А проявилось m раз. Оценим вероятность события А по методу наибольшего правдоподобия. Будем считать, что случайная величина X принимает значение 1, если произошло событие А и 0, если произошло противоположное событие . Согласно (8.1.1) функция правдоподобия в данном случае имеет вид: , где - оцениваемая вероятность. После логарифмирования получаем, что . После дифференцирования по получаем следующее уравнение: , после решения которого получаем, что . (8.1.4) Крышечкой сверху будем отличать оценку параметра от его точного значения. Формула (8.1.4) уже известна из предыдущего изложения - это оценка вероятности как частоты события A. Эта оценка состоятельна, то есть при она сходится к вероятности этого события, то есть
. Эта оценка также эффективна, то есть не существует других более эффективных оценок. Оценка так же несмещенная, то есть её математическое ожидание равно точному значению параметра: Об этих свойствах оценок подробнее поговорим позже. Пример 2. Рассмотрим случай оценки параметра дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона Согласно (8.1.1) функция правдоподобия равна . После логарифмирования получаем . После дифференцирования получаем: , Откуда , (8.1.5) где - статистическая вероятность того, что X= i. Таким образом, в качестве оценки параметра а распределения Пуассона следует брать статистическое среднее выборки. Пример 3. Рассмотрим случай оценки параметра геометрического распределения дискретной случайной величины X, которое задается законом . Если значение в выборке размером N, встретилось mi раз, то функция правдоподобия . . После дифференцирования получаем: . В результате решения этого уравнения получаем оценку для параметра p . (8.1.6) Здесь - статистическая вероятность того, что . Таким образом, оценкой наибольшего правдоподобия параметра p геометрического распределения является величина, обратная выборочному среднему .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 52; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.166.127 (0.01 с.) |