Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Загальна схема розв’язання задач чисельного аналізу. Апроксимація, стійкість, збіжність
Більшість задач чисельного аналізу в загальному вигляді можна записати у вигляді рівняння y=F(x), (1.11) де F:XàY ¾ деякий оператор, що задає відображення метричного простору Х у метричний простір У(дивись Додаток 1.1). Загальний підхід, що реалізується в наближених методах розв’язання таких задач, полягає в заміні рівняння (1.11) близьким йому, простішим (як правило, скінченновимірним) рівнянням уn=Fn(xn). (1.12) Тут Fn:Xn à Yn – оператор, що відповідає вихідному оператору F. При цьому елементи xn є Xn та yn є Yn розглядаються як образи елементів x є X та y є Y. Цей роз’язок можна визначити через відповідні оператори xn= j (x), yn= y (y). (1.13) Як відомо, заміна одних математичних об’єктів іншими, чимось близькими до них, називається апроксимацією. Визначення 1 Рівняння Fn(xn)= y n(y) (1.14) апроксимує рівняння 1.11 (оператор Fn апроксимує F), якщо для будь-яких елементів х з D(F) Í X міра апроксимації r yn (Fn(j n (x)), y n (F(x))) ® 0, коли n àµ. (1.15) (Тут r yn (a, b)) визначає метрику, тобто відстань між елементами a, b Î Yn). Щоб можна було порівнювати якість різних моделей вигляду (1.14) для задачі (1.11), користуються поняттям порядку апроксимації. Ця характеристика пов’язує прямування до 0 міри апроксимації (1.15) з порядком зменшення деякої залежної від n малої величини, наприклад, кроку апроксимації. Будемо вважати, що розв’язки х* Î Х, та рівнянь відповідно (1.11) та (1.14) існують і єдині. Наближеним розв’язком задачі (1.11) вважається елемент , де обернене до відображення . Головним питанням будь-якої теорії наближених методів розв’язання задач вигляду (1.11) є питання про те, чи можна наближеним розв’язком х(n) як завгодно добре відобразити поведінку точного розв’язку х*. Це питання про збіжність х(n) до х*. Визначення 2 Має місце збіжність наближеного розв’язку х(n) до точного розв’язку х* рівняння (1.11), якщо . Наявність фактичних оцінок величин дозволяє не тільки робити висновки про збіжність наближених розв’язків, але і визначати похибки отриманих наближень до розв’язку. Питання про збіжність розв’язків у(n) до у* тісно пов’язане з тим, чи можна надійно розв’язати спрощену задачу (1.14). Адже спрощена задача також розв’язується наближено. Покращання якості апроксимації шляхом зменшення її міри (1.15) спричинює збільшення розмірності n для задачі (1.14), а отже, збільшення об’єму обчислень, що може призвести до збільшення обчислювальних похибок.
Визначення 3 Обчислювальний процес називається стійким, якщо малі похибки вхідних даних викликають малі похибки результатів.
Питання і завдання до розділу 1
1 Джерела й класифікація похибок. Наближені числа. Абсолютна й відносна похибки. Правильні й значущі цифри. Способи округлення. 2 Подання чисел в ЕОМ. Машинний нуль, машинна нескінченність, машинний іпсилон. Алгоритми обчислення. 3 Похибки арифметичних операцій над наближеними числами. 4 Похибки обчислення функцій однієї та декількох змінних. 5 Похибки обчислення неявно заданої функції. 6 Числа задані наближено: 7 Наближене число a містить 5 правильних цифр. Що можна сказати про відносну похибку числа a? 8 З якою відносною похибкою потрібно знайти наближене значення числа a, щоб правильними виявилися 5 значущих цифр? 9 Для наближених чисел a та b (a>b>0) відомо, що (a)= (b)= . Оцінити похибки: 10 Числа a та b задані наближено: , , . Оцінити похибки: 11 Визначити правила оцінки абсолютних і відносних похибок функцій a) ; b) c) . 12 Функція обчислюється при значеннях , , . Знайти значення . Записати результат з усіма правильними цифрами. 13 Коефіцієнти обчислюються з відносною похибкою (a)= (b)= (с)= . Знайти максимальну похибку, з якою можуть обчислюватися корені рівнянь: a) ; b) . 14 Функція обчислюється при значеннях , , . Визначити при яких значеннях відповідь буде містити 3 правильні цифри. Розділ 2
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 97; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.69.49 (0.006 с.) |