Тема урока: «Неопределенный и определенный  интеграл»

 

Группа: 1-ЭЛ-1             10.02.22

дисциплина: математика

преподаватель: Левченко Н.Г.

 

 

План:

1. Изучить новый материал.

2. Сделать конспект.

3. Выписать примеры решения упражнений.

4. Выполнить задание.

 

1) Новый материал.

Неопределенный интеграл функции y = f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x) + C для функции f(x). Обозначается F(x) + C, где , f(x) − подынтегральная функция,  – подынтегральное выражение, С – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение, х – переменная интегрирования.

Интегрирование–отыскание первообразной по ее производной. Это действие, обратное дифференцированию.

 

 

Основные свойства неопределенного интеграла:

1˚. ( ′ = f(x)  = f(x)dx

 

2˚.

 

3˚.

 

4˚. .

 

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы):

1. ∫ dx = x + C, C – постоянная.

 

2.

 

3.

 

4.

∫ e^x dx = e^x + C.

5. ∫cosxdx = sin x + C.

6. ∫ sinxdx= - cosx + C.

7.

 

8.

 

9.

 

10.

 

11.

Способ непосредственного интегрирования заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.

 

2). Примеры решения.

 1. dx = 3  + 2  = 3 − 2  + C.

 

 2. dx = 4  − 15  + 14 − 3  =

= 4∙  − 15∙  + 14 ∙  – 3х + C =  − 5  + 7  – 3х + С.

 

 

3). Выполните задания:

 

Найти следующие интегралы:

а) ∫ 3 dx;

б) ∫ х¹¹dx;                                                                                                                                       

в) ∫ 5х⁹dx;                 

г) ∫ (4х³ – 6х² – 4х + 3) dx;

д) ∫ х ^-5dx; 

е) ∫ 4^3хdx;

ж) ∫ е^2хdx;

з) ∫ 2cos(5x – 2) dx;

и) ∫ (18х⁵ – 8х + 5) dx;

к) ∫ (7sinx + 3) dx.

 

Определенный интегралот функции f(x), непрерывной на отрезке  вычисляется по формуле:

            ,

где  – первообразная для функции f(x),

то есть  = f(x).

Формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

4). Определенный интеграл.

Основные свойства определенного интеграла:

1˚. .

2˚.

3˚.

4˚.

5˚. , C – const.

 

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла.

 

Пример:  = (3x )|

= (3x )| (3 – 1 − ) – (3·(−2) – (−2  – ) = 9.

 

5). Выполните задания:

 

а) ; б) ; в) ;   

г)               д) .