![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Диференціювання та інтегрування степеневих рядів.⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 14
1. Степеневі ряди можна почленно додавати і віднімати, причому, якщо ряд 2. Степеневі ряди можна множити за правилом множення многочленів, причому радіус збіжності ряду, отриманий в результаті множення, знову не менший меншого з чисел Для степеневих рядів справедливі такі теореми (приводимо їх без доведення): Теорема 1. Якщо степеневий ряд Теорема 2. Збіжний степеневий ряд можна почленно диференціювати в середині проміжку збіжності Це означає, що існують похідні Теорема 3. Збіжний степеневий ряд можна почленно інтегрувати в будь-якому проміжку, що лежить в середині області збіжності Нехай, наприклад, = звідки можна знайти, що Таким чином, степеневий ряд в своєму інтервалі збіжності по відношенню до операцій диференціювання та інтегрування веде себе так само, як многочлен із скінченною кількістю членів. Розглянемо, наприклад, розклад в ряд логарифмічної функції. Добре відомий ряд, який представляє собою суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії Якщо цю рівність почленно проінтегрувати при З іншого боку Аналогічно можна представити дріб Звідси Але Причому, оскільки у прогресії ми покладали У випадку Представляючи функцію Однак, слід відмітити, що ряд для
Віднявши від (5.7) розклад (5.8) і враховуючи рівність знаходимо За допомогою розкладу (5.9) вже можуть бути підраховані з будь-яким ступенем точності натуральні логарифми будь-яких додатніх чисел. Для цього досить дане число Оскільки знайдене значення Нехай Розглянемо розклад Щоб отримати цей розклад, досить в геометричній прогресії З іншої сторони
Ряди Тейлора і Маклорена. Якщо функція
то такий ряд називають рядом Тейлора, а вираз (66) називають розвиненням функції у степеневий ряд. Якщо у виразі (66)
і називається рядом Маклорена для функції Розлянемо приклади розвинення у степеневі ряди деяких елементарних функцій. Розвинути у степеневий ряд функцію функції: При
Одержані значення підставимо у ряд Маклорена (67). Одержимо розвинення функції у степеневий ряд
Аналогічно можна знайти розвинення інших функцій у степеневі ряди. Так
Ряд (69) називають біноміальним рядом. Цей ряд збігається при Степеневі ряди мають широке застосування в точних та наближених обчисленнях функцій, інтегралів, наближеному розв’язуванні диференціальних рівнянь та інших випадках.
Приклад. Розкласти в степеневий ряд функцію Розв’язання. Позначимо
При підстановці замість
За формулою (65) знайдемо радіус збіжності одержаного ряду. Враховуючи, що коефіцієнти
Ряд збіжний на всій числовій осі
Приклад. Розкладаючи підінтегральну функцію в ряд обчислити з точністю до
Розв’язання. Підінтегральну функцію
Позначимо
Підставимо розвинення функції під знак інтеграла і після інтегрування обчислимо його наближено, взявши стільки членів, щоб решта ряду була меншою від
Відповідь.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 858; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.116.27.18 (0.027 с.) |