Средние значения случайных величин

 

Предположим, что Х – дискретная случайная величина, которая в результате эксперимента принимала значения x ₁, x ₂,…, x_n с вероятностями p ₁, p ₂,…, p_n, . Тогда средним значением или математическим ожиданием величины X называется сумма , т.е. средневзвешенное значение величины Х, где весами служат вероятности p_i.

Пример. Определить среднее значение ошибки регулирования e, если на основании большого числа опытов установлено, что вероятность ошибки р_i равна:

e, %	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3
рi	0,2	0,2	0,3	0,15	0,15

 

Решение:

 

1. M [e] = 0,1×0,2 + 0,15×0,2 + 0,2×0,3 + 0,25×0,15 + 0,3×0,15 =

= 0,19 %.

 

В том случае, если g(Х) является функцией X (причем вероятность того, что X = x_i равна p_i), то среднее значение функции определяется как

Предположим, что X – случайная величина с непрерывным распределением и характеризуется плотностью вероятности j(x). Тогда вероятность того, что X заключена между x и x + D х:

 

.

 

Величина X при этом приближенно принимает значение x. В пределе при D x ® 0, можно предположить, что приращение D x численно равно дифференциалу d x.

Произведя замену D x = d х, получаем точную формулу для расчета среднего значения Х:

Аналогично для g(Х):

Как правило, недостаточно бывает знать только среднее значение (математическое ожидание) случайной величины. Для оценки меры случайности величины (для оценки разброса конкретных значений X относительно математического ожидания M [ X ]) вводится понятие дисперсии случайной величины. Дисперсия – среднее значение квадрата отклонения каждого конкретного значения X от математического ожидания. Чем больше дисперсия , тем больше случайности разброса величины от математического ожидания. Если случайная величина дискретная, то

Для непрерывной случайной величины дисперсию можно записать аналогично:

Дисперсия хорошо описывает разброс величины, но при этом есть один недостаток: размерность не соответствует размерности X. Чтобы избавиться от этого недостатка, часто в конкретных приложениях рассматривают не , а положительное значение , которое называется средним квадратическим отклонением.

1.3.2.1. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине M [ C ] = C.

2. Неслучайный множитель С можно выносить за знак математического ожидания M [ CX ] = CM [ X ].

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин.

.

 

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин (условие независимости случайных величин).

.

1.3.2.2. Свойства дисперсии

1. Дисперсия неслучайной величины С равна нулю: D [ C ]=0.

2. Дисперсия произведения неслучайного множителя С на случайную величину равна произведению С ² на дисперсию случайной величины.

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин X ₁ и X ₂ равна сумме дисперсий слагаемых

1.3.3. Моменты случайной величины

Пусть Х – непрерывная случайная величина. Если n – целое положительное число, а функция x ⁿ интегрируема на интервале (–¥; +¥), то среднее значение

 

n = 0, 1,…, n

 

называется начальным моментом порядка n случайной величины X.

Очевидно, что момент нулевого порядка

 

,

 

а начальный момент первого порядка

 

,

 

есть математическое ожидание самой случайной величины Х.

Момент второго порядка

 

 

есть математическое ожидание квадрата случайной величины Х.

Аналогично находят a₂, a₃ и т.д.

Если – центрированная случайная величина, то представляет интерес рассмотрение центральных моментов порядка n, где n = 0, 1,…, n:

 

 

 

Есть связь между начальными и центральными моментами.

Так b_о = a_о

b₂=a₂

b₃=a₃ и т.п.

 

 

Примеры законов распределения случайной величины

 

Рассмотрим примеры распределения случайной величины.

 

1 .4.1. Равномерное распределение дискретной случайной

величины

При бросании игральной кости может выпасть 1,2,3,… или 6. Здесь величина Х принимает значения х_i = i с вероятностями соответственно (i = 1, 2, 3…, 6). Ввиду равенства всех вероятностей можно говорить о равномерном распределении случайной величины Х.

Рассчитаем для этой случайной величины математическое ожидание М [ X ] и дисперсию D [ X ]:

 

 

При этом .

 

1.4.2. Равномерное распределение непрерывной случайной

величины

 

Предположим, что случайная величина имеет равномерное и непрерывное распределение. Причем ее плотность вероятности для всех значений, кроме интервала (a, b), на котором она постоянна. Постоянное значение обозначим через A. Тогда можно записать

 

 

или . Поэтому плотность равномерного распределения задается формулой

.

 

 

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F (x) непрерывна на всей числовой оси, а плотность вероятности j(x) существует и непрерывна всюду, кроме дискретного множества точек. Для нахождения функции распределения F (x) воспользуемся формулой

 

.

 

При x £ a . Тогда F (x) = 0.

Для а < x < b получим

 

.

 

Наконец при х ³ b получим:

 

Таким образом интегральный закон равномерного распределения случайной величины задается формулой

 

 

и соответственно в виде графика:

 

 

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

.

;

;

; .

 

.

1.4.3. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Среди законов распределения, которым подчиняются встречающиеся на практике случайные величины, чаще всего приходиться иметь дело с нормальным законом распределения. Это предельный закон, к которому приближаются многие другие законы распределения при определенных условиях. Если случайную величину можно рассматривать как результат суммарного воздействия многих независимых факторов, то закон распределения такой случайной величины будет близок к нормальному.

Для этого закона плотность вероятности задается формулой:

.

Выясним геометрический смысл параметров «а» и «s» (а – математическое ожидание; s² – дисперсия, s – среднеквадратическое отклонение).

Из формулы видно, что кривая у = j(х) достигает максимума при х = а, причем максимальное значение . С ростом s величина максимального значения уменьшается, а так как площадь, ограниченная всей кривой и осью абсцисс, равна единице, то с ростом s кривая как бы растягивается вдоль оси ох и наоборот. Приведены графики у = j(х) при различных «а», но при одном и том же s. На другом – при а = 0, но различных s.

При имеет место предел, когда j = 0 (по формуле). Разность (х ) содержится в формуле в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой х = а.