Вывод: уравновешивающая сила определена верно.

Пример 2. Кинематический и силовой анализ кривошипно-ползунного механизма

     Для кривошипно-ползунного механизма, положение звеньев которого задано углом поворота кривошипа φ ₁ = 240° (рис.2.21), выполнить структурное, кинематическое и силовое исследование.

Рис.2.21.Структурная схема кривошипно-ползунного механизма

Дано: частота вращения кривошипа n ₁ = 290 об/мин;  линейные размеры звеньев: l_AB = 0,36 м, l_{B С} = 1,5 м, = 0,85 м, l_BE = 0,36 м, l _{Е F} = 0,34 м, h = 0,34 м; силы веса звеньев: G ₂ = 95 Н, G ₃ = 60 Н; сила полезного сопротив-ления  = 160 Н, приложенная в точке С ползуна 3, противоположно  .      

     Кинематическое исследование выполнить графоаналитическим методом.

      Силовой анализ начального механизма выполнить двумя способами:

1.С помощью плана сил.

2.С помощью теоремы о «жёстком» рычаге Н.Е. Жуковского.

Решение:

Структурный анализ механизма

     Заданный механизм состоит из неподвижного звена – стойки    и трёх подвижных звеньев – кривошипа АВ, шатуна ВС, ползуна D. Стойка    представлена шарнирно-неподвижной опорой А и направляющей ползуна. На структурной схеме механизма (см. рис.2.21) элементы стойки обозначе-ны цифрой 0, а подвижные звенья – цифрами 1, 2, 3 соответственно. 

     Кривошип 1 (АВ) со стойкой 0 образуют вращательную кинематичес-кую пару А. Шатун 2 (ВС) образует вращательную кинематическую пару В  с кривошипом 1. Ползун 3 образует вращательную кинематическую пару С  с шатуном 2 и поступательную кинематическую пару D со стойкой 0.

     Результаты структурного анализа кривошипно-ползунного механиз-ма  оформим в виде схемы (рис.2.22) и таблицы кинематических пар (табл.2.3):

                                               а                                                            б

 

Рис. 2.22. Структурные группы механизма:

а – кривошипно-ползунная; б – начальный механизм

 

Таблица 2.3. Кинематические пары механизма

№ пары	Наименование пары	Звенья пары	Вид пары	Класс  пары
1	А	0 – 1	вращательная	5
2	B	1 – 2	вращательная	5
3	C	2 – 3	вращательная	5
4	D	0 – 3	поступательная	5

     Число степеней свободы механизма определим с помощью формулы Чебышева:

W = 3· n – 2· Р₅ – Р₄

    Согласно структурной схеме число подвижных звеньев n = 3. Согласно таблице структурного анализа число кинематических пар 5-го класса Р₅ = 4, кинематические пары 4-го класса отсутствуют.

Тогда число степеней свободы:

W = 3·3 – 2·4 – 0 = 1.

Число 1 указывает, что данный механизм имеет одно ведущее звено, входящее в начальный механизм. Начальный механизм образован кривошипом 1 и стойкой 0 (см. рис. 2.22 б). В структуру заданного механизма также входит кривошипно-ползунная структурная группа, состоящая из шатуна 2 и ползуна 3 (см. рис. 2.22 а).

Кинематический анализ  механизма

1. Построение  плана положений звеньев механизма (плана механизма)

     Перед построением плана механизма (рис.2.23) выполним необходимые расчёты.

     Пусть кривошип 1 на плане механизма будет представлен отрезком АВ = 36 мм. Тогда масштабный коэффициент плана механизма:

μ_l = l_AB / AB = 0,36/ 36 = 0,01 м/мм

    Используя полученный масштабный коэффициент, переводим остальные линейные размеры механизма в отрезки:

ВС = l_{B С} / μ_l = 1,5 / 0,01 = 150 мм;      В S ₂ =  / μ_l = 0,85 / 0,01 = 85 мм;

BE = l_BE / μ_l   = 0,36 / 0,01 = 36 мм;    EF = l_EF / μ_l   = 0,34 / 0,01 = 34 мм;

H = h / μ_l   = 0,34 / 0,01 = 34 мм.

     План механизма (рис.2.23) строим в следующем порядке:

1).Изображаем точку А и прорисовываем шарнирно-неподвижную опору А.

Рис. 2.23. План механизма (μ_l = 0,01 м/мм)

 

2).Через точку А проводим горизонтальную ось Х и вертикальную ось Y.

3).Строим отрезок АВ, составляющий угол 240° с осью Х, отсчитанный против часовой стрелки.

4).На оси Y вниз от точки А откладываем расстояние АА^′ = H и через точку А′ проводим горизонтальную прямую y_D.

5).Строим дугу окружности радиусом R ₁ = BC с центром в точке B, её пересечение с прямой y_D даёт точки C, D (точка D – проекция точки C на стойку).

6).На отрезке ВС откладываем расстояние В S ₂ и  обозначаем центр масс шатуна 2 – точку S ₂.

7).Строим отрезок BE как продолжение отрезка ВС и обозначаем точку E.

8).Строим отрезок EF, перпендикулярный отрезку В E.

2. Построение плана скоростей точек механизма

План скоростей желательно строить рядом с планом механизма.

    Перед построением плана скоростей точек механизма (рис.2.24) выполним необходимые расчёты.

    Точка В совершает вращательное движение относительно точки А, следовательно, её полная скорость определяется с помощью векторного выражения:

,

где  – полная скорость точки А;   – скорость вращательного движения точки В относительно точки А.

     Точка А принадлежит опоре и является неподвижной, то есть = 0, значит,  =  = ω ₁ · l_AB.

     Угловая скорость кривошипа 1:

ω ₁ = π · n ₁ /30 = 3,14·290 / 30 = 30,35 с^-1,

тогда =  = 30,35·0,36 = 10,93 м/с.

     Таким образом, вектор скорости  будет перпендикулярен отрезку АВ и сонаправлен с вектором угловой скорости .

     Примем масштабный коэффициент плана скоростей  = 0,1 ,

тогда длина отрезка, изображающего на плане вектор скорости , будет равна  =  / = 10,93 / 0,1 ≈ 109 мм.

     Точка С  на плане положений механизма одновременно принадле-жит шатуну 2 и ползуну 3. Значит, её полная скорость  может быть определена с помощью векторных выражений:

где , – соответственно скорости вращательного движения точки С относительно точек В и D;  – полная скорость точки D.

     Точка D принадлежит горизонтальной опоре и является неподвиж-ной, то есть = 0, значит: 

.

     Вектор скорости направлен перпендикулярно отрезку BC  плана механизма. Вектор скорости  направлен вдоль траектории движения ползуна 3, то есть горизонтально.         

     Величины и направления векторов скоростей и  определим с помощью плана скоростей (рис.2.24), который построим в следующем порядке:

1).Обозначаем полюс плана скоростей , в нём располагаются скорости неподвижных точек механизма  = = 0.

2).Через полюс  проводим прямую, перпендикулярную отрезку АВ плана механизма (см.рис.2.23) и строим на ней в направлении угловой скорости (т.е.вращения кривошипа 1) отрезок  = 109 мм, который изображает вектор скорости  (рис.2.24).

3).Через  проводим горизонтальную прямую, а через точку  – прямую перпендикулярную отрезку ВС плана механизма (см.рис.2.23), пересечение этих прямых даёт нам точку с и отрезки  и , которые являются векторами скоростей и  соответственно (рис.2.24).

 

Рис. 2.24. План скоростей механизма  

     В результате выполненных построений получился треугольник Δ , в котором отрезки  = 109 мм,  = 54 мм,  = 96 мм являются векторами скоростей ,  и соответственно. Векторы скоростей , направлены к точке с плана скоростей, в соответствие с правилами суммы векторов.

     Длины и направления векторов скоростей точек S ₂, E, F определим с помощью теоремы подобия. Используя эту теорему, определим положения точек s ₂ , , f  на плане скоростей. Затем соединив эти точки с полюсом , получим векторы скоростей , , .   

    Для определения положения точки s ₂ на плане скоростей составим пропорцию:

 = или  = ,

отсюда  = , где ВС = 150 мм, В S ₂ = 85 мм плана механизма (см. рис.2.23), тогда  =  ≈ 31 мм.

     Полученный отрезок  = 31 мм откладываем на отрезке .

     Полюс  соединяем с точкой s ₂, в результате получаем отрезок =97 мм, который на плане скоростей изображает вектор скорости .

     Рассуждая аналогично, определим скорость точки E.  

 = или  =  ,

отсюда  =  , где ВС = 150 мм, BE  = 36 мм плана механизма (см. рис.2.23), тогда  =  = 13 мм.

     Полученный отрезок =13мм откладываем от точки  как продол-жение отрезка .

     Полюс  соединяем с точкой , в результате получаем отрезок  = 116 мм, который на плане скоростей изображает вектор скорости .

     Положение точки f на плане скоростей и длину вектора скорости    определяем следующим образом:

1).Соединив на плане механизма соответствующие точки, получаем отрезок CF (см. рис.2.23).

2).На плане скоростей через точку  проводим прямую, перпендикулярную отрезку EF плана механизма (см.рис.2.23), а через точку  – прямую, перпендикулярную отрезку CF, пересечение этих прямых даёт точку f (см.рис.2.24).

3).Полюс  соединяем с точкой , в результате получаем отрезок  = 106 мм, который на плане скоростей изображает вектор скорости .

     Отметим, что треугольник Δ , полученный на плане скоростей, подобен треугольникуΔ FEC на плане механизма.

     Полученные при построении плана скоростей векторы , ), , (  направлены от полюса  к соответствующим точкам c, s ₂, e, f.

     Вычисляем неизвестные линейные скорости и угловую скорость шатуна 2:

= ·  = 0,1·54 = 5,4 м/с;    = ·   = 0,1·96 = 9,6 м/с;

 = ·   = 0,1·97 = 9,7 м/с; = ·  = 0,1·116 =  11,6 м/с;

= ·  = 0,1·106 = 11,6 м/с; ω ₂ =  / l_{B С} = 5,4 / 1,5 = 3,6 с^-1 .

3. Построение плана ускорений точек механизма

План ускорений желательно строить рядом с планом механизма.

     Перед построением плана ускорений точек механизма (рис.2.25) выполним необходимые расчёты.

     Точка В совершает вращательное движение относительно точки А, следовательно, её полное ускорение определяется с помощью векторного выражения:

.

     При вращательном движении полное ускорение точки определяется как векторная сумма нормального и тангенциального ускорений. Значит, ускорение можно определить с помощью векторного выражения:

 ,

где ,  – соответственно нормальное и тангенциальное ускорение вращательного движения точки В относительно точки А. Тогда можно записать:

     Точка А принадлежит опоре и является неподвижной, то есть её полное ускорение   = 0.

      Кривошип 1 вращается относительно точки А с постоянной угловой скоростью , его угловое ускорение = 0, т.е. = ε ₁ · l_AB = 0.

     При этом величина полного ускорения точки В:

=  = · l_AB =30,35²·0,36  = 332 м/с².

     Таким образом, вектор полного ускорения  будет параллелен отрезку АВ и направлен к точке А, центру вращения кривошипа 1.

     Точка С  на плане  механизма (см. рис.2.23)  одновременно принад-лежит шатуну 2 и ползуну 3. Значит, её полное ускорение может быть определено с помощью векторных выражений:

где  – соответственно ускорения относительного движения точки С относительно точек В и D; – полное ускорение точки D.

    Точка С совершает вращательное движение относительно точки В, следовательно, полное ускорение  определяется как векторная сумма нормальной и тангенциальной составляющей ускорения, то есть:

,

где ,  – соответственно нормальная и тангенциальная составляю-щая  ускорения вращательного движения точки C относительно точки B.

    Точка D принадлежит горизонтальной опоре и является неподвиж-

ной, то есть = 0. При этом точка С совершает поступательное движение

относительно точки D.

    Следовательно, векторное выражение для определения полного ускорения точки С будет выглядеть так:

.

     Значение ускорения  вычислим с помощью выражения:

 = · l_BC = 3,6²·1,5 = 19,4 м/с².

     Примем масштабный коэффициент плана ускорений  = 2 . Тогда длины отрезков, изображающих на плане векторы ускорений , будут равны:

 =  / = 332 / 2 = 166 мм,

=  / = 19,4 / 2 ≈ 10 мм.

     Вектор нормальной составляющей ускорения  будет параллелен отрезку BC плана механизма (см. рис.2.23) и направлен к точке В, центру вращения шатуна 2. Вектор тангенциальной составляющей ускорения будет перпендикулярен отрезку BC плана механизма. Вектор полного ускорения  будет параллелен траектории движения точки С.

     Величины и направления векторов ускорений , ,  определим с помощью плана ускорений (рис.2.25), который построим в следующем порядке:

1).Обозначаем полюс плана ускорений , это начало построения, в нём располагаются ускорения неподвижных точек механизма = = 0.

2).Через полюс  проводим прямую, параллельную отрезку АВ плана механизма (см.рис.2.23), и строим на ней отрезок  = 166 мм в направле-нии центра вращения кривошипа 1– точки А, который изображает на плане вектор полного ускорения .

3).Через точку  проводим прямую, параллельную отрезку ВС плана механизма (см. рис.2.23) и строим на ней в направлении центра вращения шатуна 2 – точки В отрезок  = 10 мм, который изображает на плане вектор нормальной составляющей ускорения  .

4).Через точку  проводим прямую, перпендикулярную отрезку BC (см. рис.2.23), а через полюс – горизонтальную прямую, пересечение этих прямых даёт нам точку с и отрезки  = 144 мм и  = 70 мм, которые на плане являются векторами ускорений  и .

5).Соединив на плане ускорений соответствующие точки, получим отрезок  =145 мм, который на плане изображает вектор полного ускорения .

     Длины и направления векторов ускорений точек S ₂, E, F определим с помощью теоремы подобия. Используя эту теорему, определим положения точек  , , f  на плане ускорений. Затем соединив эти точки с полюсом , получим векторы ускорений  , ,  . 

     Для определения положения точки s ₂  на плане ускорений составим пропорцию:  

 =    или  =  ,

отсюда  = , где ВС = 150 мм, В S ₂ = 85 мм   плана механизма (см. рис.2.23), тогда =  ≈ 82 мм.

     Полученное значение = 82 мм откладываем на отрезке .

     Полюс плана ускорений  соединяем с точкой , в результате полу-чаем отрезок =105 мм, который на плане изображает вектор полного ускорения .

Рис. 2.25. План ускорений механизма  

    Рассуждая аналогично, определим ускорение точки E: 

 = или  =  ,

отсюда  = , где ВС = 150 мм, BE  = 36 мм  плана механизма (см.

рис.2.23), тогда  =  ≈ 35 мм.

     Полученное значение =35 мм откладываем от точки  как продол-жение отрезка .

     Полюс  соединяем с точкой , в результате получаем отрезок  = 198 мм,  который на плане изображает вектор полного ускорения .

     Положение точки f на плане ускорений (см. рис.2.25) и значение ускорения  определяем следующим образом:

1).Соединив на плане механизма соответствующие точки, получаем отрезок CF.

2).На плане ускорений через точку  проводим прямую, перпендикуляр-ную отрезку EF плана механизма (см.рис.2.23), а через точку  – прямую перпендикулярную отрезку CF, пересечение этих прямых даёт точку f.

3).Полюс  соединяем с точкой , в результате получаем отрезок  = 208 мм,  который на плане изображает вектор полного ускорения .

     Отметим, что треугольник Δ , полученный на плане ускорений, подобен  треугольнику Δ FEC,полученному на плане механизма.

     Полученные при построении плана ускорений векторы (), (), (), () направлены от полюса плана ускорений  к соответствующим точкам c, s ₂, e, f.

    Определяем неизвестные линейные ускорения и угловое ускорение шатуна 2:

= ·  = 2·144 = 288 м/с²;  = ·  = 2·145 = 290 м/с²;

 = ·   = 2·70 = 140 м/с²;    = ·   = 2·98 = 196 м/с²;

= ·  = 2·198 = 396 м/с²;     = ·  = 2·208 = 416 м/с²;

ε ₂ =  / l_{B С} = 288 / 1,5 = 192 с^-2.     

     Направление вектора углового ускорения  определяем следующим образом.

    Точку B делаем условно неподвижной, а к точке C прикладываем вектор тангенциальной составляющей ускорения . В результате точка С под действием ускорения  получает возможность совершать вращатель-ное движение относительно условно неподвижной точки B. Полученное направление вращательного движения является направлением действия углового ускорения  .

 Силовой анализ  механизма

1. Определение действующих на механизм силовых факторов

      К действующим на механизм силовым факторам относятся силы веса G ₂ = 95 Н, G ₃ = 50 Н и сила полезных сопротивлений  = 160 Н. Векторы сил веса  ,  приложены к точкам S ₂, S ₃ (центрам масс шатуна 2 и ползуна 3 соответственно) и направлены вертикально вниз. Вектор силы полезного сопротивления  приложен к точке C и направ-лен противоположно вектору скорости .

     Кроме того на механизм действуют «даламберовы» силы инерции и моменты от сил инерции.

    Определим их численные значения и направления.

    Кривошип 1 совершает вращательное движение с постоянной угловой скоростью , значит, его угловое ускорение  = 0. Центр масс кривошипа 1 является неподвижным, значит его ускорение равно нулю, следовательно:

 = 0;  = 0.

        

    Шатун 2 совершает плоское движение, следовательно:

 = m₂ · ;    = I_S2 · ε₂.

    Ползун 3 совершает поступательное движение, следовательно:

 = m ₃ · .           

     Массы звеньев m ₂, m ₃ определяются как соотношение сил веса ,  к ускорению свободного падения g:

m ₂ =  =  = 9,7 кг; m ₃ =  =  =6,1 кг,

тогда силы инерции звеньев  = 9,7·196 =  1901 Н;  = 6,1·140 = 854 Н.

    Момент инерции шатуна 2 выразим через его массу и линейные размеры I_{S 2} =  =  = 4,694 кг·м²,        

тогда момент от сил инерции = 4,694·192 = 901 Н·м.          

     Вектор силы инерции приложен к точке S ₂ и направлен противо-положно вектору ускорения . Вектор силы инерции  приложен к точке С и направлен противоположно вектору ускорения . Момент от силы инерции  направлен противоположно угловому ускорению .

2. Силовой анализ  структурной группы 2–3

     Кривошипно-ползунную группу 2–3 выделяем из механизма.

     Действие шатуна 2 на кривошип 1 в кинематической паре   В заменя-ем силой реакции  . Действие ползуна 3 на горизонтальную стойку 0 в кинематической паре D заменяем силой реакции .  

    На данном этапе исследования направление и численное значение силы реакции неизвестно, поэтому представим её в виде векторной суммы нормальной  (направлена вдоль звена) и тангенциальной (направ-лена перпендикулярно звену)  составляющих:

.

      Направление и численное значение силы реакции  на данном этапе расчёта также неизвестно, но известно, что линия действия этой силы перпендикулярна траектории движения точки С.

    Значит, условие равновесия структурной группы 2–3 будет определяться векторным уравнением:

    Линия действия нормальной составляющей силы реакции будет параллельна шатуну 2, а линия действия тангенциальной составляющей силы реакции  перпендикулярна шатуну 2 соответственно. Линия действия силы реакции будет вертикальной прямой.

     Вычерчиваем план  положений  структурной группы 2–3 (рис.2.26) с использованием масштабного коэффициента μ_l = 0,01 м/мм, на котором круговыми стрелочками обозначим направления углового ускорения  и момента от силы инерции  .

Тангенциальную составляющую силы реакции  определим из условия равновесия шатуна 2.

      Для этого отдельно от структурной группы 2-3 вычертим план положений шатуна 2 (рис.2.27) с использованием масштабного коэффици-ента μ_l = 0,01 м/мм, на который нанесём векторы сил , , .

 

Рис. 2.26. План структурной группы 2–3 (μ_l = 0,01 м/мм)           

    Тангенциальную составляющую силы реакции  приложим к точке В перпендикулярно отрезку BC.

 

Рис. 2.27. План положений шатуна 2 (μ_l = 0,01 м/мм)     

     Силу инерции  и момент от силы инерции заменим одной равнодействующей силой, для этого:

1).Момент от силы инерции  заменим парой сил инерции  (), при этом значения  =  = , а численное значение плеча пары сил инерции () на плане шатуна 2 будет равно  =  =  ≈ 47 мм.

2).Силу инерции  приложим к точке S ₂ противоположно силе инерции , а силу инерции  приложим на расстоянии  от линии действия сил инерции ,  таким образом, чтобы действие пары сил инерции  ()  было сонаправлено с действием момента от силы инерции  .