Определение нагрузок в узлах фермы методом вырезания узлов.

Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к по­следовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы. Ход расчетов поясним на конкретном примере.

Рис.1

Рассмотрим изображенную на рис. 1,а ферму, образованную из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников; действую­щие на ферму силы парал­лельны оси х и равны: F₁ = F₂ = F₃ = F = 2кН.

В этой ферме число узлов  n = 6, а число стержней k = 9. Следовательно, соот­ношение выполняется и ферма является жесткой, без лишних стержней.

Составляя уравнения рав­новесия для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как пока­зано на рисунке, и численно равны;

X_A =3F=6 кН                              X_A =3F=

Y_{A =} N = F=3 кН                        Y_{A =} N = F=

Переходим к определению усилий в стержнях.                               

Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни — арабскими. Искомые усилия будем обозначать S ₁ (в стержне 1), S ₂ (в стержне 2) и т. д.

Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от осталь­ной фермы. Действие отброшенных частей стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям S ₁, S ₂,... Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая, все стержни растя­нутыми (рис. 1, а; изображенную картину надо представлять себе для каждого узла так, как это показано на рис. 1, б для узла III). Если в результате расчета величина усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательной, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат. Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, ни рис. 1 не вводам, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня 1, равны численно S ₁, вдоль стержня 2 — равны S ₂ и т. д.

Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последо­вательно уравнения равновесия

Начинаем с узла 1, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия.

Составляя уравнения равновесия для узла 1, получим

     

Отсюда находим

S₂ = -F =-2,82 кН                            S₂ = -F =-

S₁ = - N- S_{2 =} -1 кН                           S₁ = - N- S_{2 =}

Теперь, зная S ₁, переходим к узлу II. Для него уравнения равнове­сия дают

 

откуда

S₃ = -F = - 2 кН

S₄ = S₁ = - 1кН

Определив S ₄, составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, а затем для узла IV. Из этих уравнений находим:

S₅ = - S₄ = 1,41 кН  

S₆ = S₈ = - 3кН

S₇ = 0

     Наконец, для вычисления S ₉ составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось By.

 Получим

              откуда  

 S₉ = - 3 = -4,23 кН      S₉ =

Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла VI можно составить как поверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равновесия всей фермы в целом при определении N, Х_А, и Y_А.

Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу:

№ стержня..........	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Усилие в Н.........	-1	-2,82	-2	-1	+1,41	-3	0	-3	-4,23
№ стержня..........
Усилие в Н.........

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стер­жни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой, стержень).

Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обна­руживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную к упомянутым двум стержням.

Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неизве­стных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.