Основные теоремы теории вероятностей случайного события

Несовместными называются события, если их одновременное осуществление невозможно.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления хотя бы одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. Для двух событий имеем:

 

.

 

Пример 2. Найти вероятность выпадения «2» или «5» при бросании игрального кубика.

Решение       Событие A - выпадение «2», ;

Событие B - выпадение «5», ;

Тогда для события A или B по формуле теоремы сложения вероятностей получаем .

 

Пример 3. В корзине находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого или черного или красного шара при однократном изъятии шара из корзины.

Решение      Событие A - вынимание белого шара, ;

Событие B - вынимание черного шара, ;

Событие C - вынимание красного шара, ;

По формуле сложения вероятностей имеем

.

 

Противоположным данному событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не произошло. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

В примере 3 противоположным событию  является вынимание синего шара, вероятность которого , и, таким образом, .

Полной системой событий называется такая совокупность событий, которая содержит все возможные исходы испытаний, т.е. в результате испытаний появится хотя бы одно из них. Например, числа от «1» до «6» составляют полную систему событий при бросании игрального кубика.

Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице (для несовместных событий):

 

.

 

Теорема умножения вероятностей: вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий имеем:

 

.

 

Пример 4. В одной корзине находится 5 черных и 10 белых шаров, в другой – 7 черных и 9 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой корзины оба шара окажутся: а) черными; б) белыми; в) из первой корзины вынут черный шар, а из второй – белый; г) из первой корзины вынут белый шар, из второй – черный.

Решение Событие A - вынимание черного шара из первой корзины, ;

Событие B - вынимание белого шара из первой корзины, ;

Событие C - вынимание черного шара из второй корзины, ;

Событие D - вынимание белого шара из второй корзины, ;

По формуле умножения вероятностей находим:

а)  - оба шара окажутся черными;

б)  - оба шара окажутся белыми;

в)  - из первой корзины вынут черный шар,

из второй - белый;

г)  - из первой корзины вынут белый шар,

из второй - черный.

 

Все четыре возможных события, рассмотренные в данном примере, образуют полную систему событий, поэтому их сумма равна единице.

Условной вероятностью случайного события B называется его вероятность при условии, что произошло какое-либо другое событие, например, A. Условная вероятность обозначается .

Вероятность события, состоящего из совместного появления двух зависимых между собой событий A и B (причем B зависит от того, произошло ли событие A) равна:

 

.

 

Пример 5. В коробке находятся 5 синих и 2 красных карандаша. Какова вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты красный и синий карандаши?

Решение      Событие A - первым вынут красный карандаш, ;

Событие B - после красного вынут синий карандаш, ;

По формуле умножения вероятностей получаем:

.

 

Пусть в результате испытаний могут появиться несколько событий ,.., , причем вероятности появления каждого из события известны. Тогда вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий ,.., :

 

.

 

Пример 6. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий: , , . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие A) при одном залпе из всех орудий.

Решение

Вероятности событий, противоположных событиям ,  и , соответственно равны , , . Тогда искомая вероятность .

 

 

Глава 5