Тема 4. Определенный интеграл

Основные свойства и методы вычисления

 

Пусть на отрезке [ a, b ] (b > a) задана непрерывная функция y = f (x), принимающая на этом отрезке неотрицательные значения: при . Требуется определить площадь фигуры S, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x). Эта фигура называется криволинейной трапеции ABCD

Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x ₀ = a, x ₁ , x ₂ , …, x_{n -1} = a, x_n = b на n частей [ x ₀ , x ₁], [ x ₁ , x ₂], …, [ x_{i -1} , x_i ], …, [ x_{n -1} , x_n ]; символом будем обозначать длину i -го отрезка: . На каждом из отрезков [ x_{i -1} , x_i ] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [ x_{i -1} , x_i ] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _n .
S _n называется интегральной суммой функции y = f (x) на отрезке [ a, b ]

S _n равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i, i = 1,2,…, n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S _ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S.

Обозначим через                   длину наибольшего частичного отрезка  

 

Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм S_n при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ x_{i -1} , x_i ], ни от выбора точек , то функция f (x) называется интегрируемой по отрезку [ a, b ], а этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается .
Функция f (x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Кратко определение иногда записывают так: .
В этом определении предполагается, что b > a.

Свойства определенного интеграла

1. Если b=a, то   

 

2. если b < a, то

 

3.

 

4.

5.

6. Если функция y= f(x ) интегрируема на отрезке [a,b], то для любой точки с внутри отрезка верно равенство

 

 

6. Интегрирование неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f (x), g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то .

Геометрический смысл определённого интеграла

 

 Если f (x) >0 на отрезке [ a, b ], то                равен площади криволинейной трапеции

ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).

Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница

 

Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], и F (x) - некоторая первообразная функции ,

то

Пример 1. применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Пример 2.

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Пример 3.

Вычислить интегралы: