Коэффициент корреляции Пирсона

Если переменные «х» и «у» измерены в числовых шкалах в качестве меры связи между ними выступает коэффициент корреляции Пирсона (r_xy). Обычно коэффициент корреляции Пирсона называют выборочным коэффициентом корреляции или просто коэффициентом корреляции.

Данный коэффициент измеряет только степень прямолинейной связи и направление связи. Криволинейную (нелинейную) связь данный коэффициент не измеряет.

Рабочая формула для вычисления коэффициента корреляции:

В числителе – ковариация – разность между суммой произведений «х» на «у» и произведением сумм по «х» и «у», деленная на объем выборки. В знаменателе – корень квадратный из произведения SS_x на SS_y.

Коэффициент корреляции варьирует от - 1 до + 1. Эти два предела варьирования представляют собой функциональные связи: обратную (r = - 1) и прямую (r = 1). при приближении к нулю связь уменьшается, при r = 0 связь полностью отсутствует.

В дополнении к коэффициенту корреляции часто вычисляют коэффициент детерминации (D), который представляет собой квадрат коэффициента корреляции:

Коэффициент детерминации показывает долю изменчивости переменных, которая детерминируется корреляцией между ними.

Значение r = 0,7 является пороговым, ниже которого связь считается слабой или средней, но выше – сильной.

Пример 4. Получены данные о длине листовой пластинки («х», мм) и диаметре штамба («у», см) у 31 сеянца алычи (табл. 5.12.):

Таблица 5.12. Длина листовой пластинки «х», мм и диаметр штамба «у», см у 31 сеянца алычи

х	76,6	72,2	67,0	66,5	63,3	65,4	63,9	63,1	63,0	62,5	62,2
у	4,56	4,79	4,49	4,32	4,59	4,32	4,67	4,29	4,57	4,20	4,12
х	61,0	60,2	60,0	59,6	59,5	58,9	58,0	57,8	57,6	57,0
у	4,13	4,70	3,80	4,23	3,76	4,08	4,61	4,37	4,30	4,00
х	56,8	55,4	55,0	53,8	53,7	52,0	51,4	51,0	50,9	48,5
у	3,82	4,12	4,19	4,16	4,09	4,12	4,02	4,31	4,06	4,03

Необходимо вычислить коэффициент корреляции между длиной листовой пластинки и диаметром штамба.

Решение:

1. Копируем исходные данные в табличный редактор Excel. Транспонируем таблицу. Формируем два столбца: для признаков «х» и «у».

2. Строим точечную корреляционную решетку, задаем нужный формат осям абсцисс и ординат, добавляем линию тренда.

Рис 6.4. Точечная корреляционная решетка и тренд распределения 31 сеянца алычи по длине листовой пластинки (х) и диаметру штамба (у)

Исходя из распределения точек на корреляционной решетке, следует вывод о том, что связь между признаками, несомненно, имеется, прямая, средней степени.

Вычисляем компоненты формулы коэффициента корреляции:

Σ x_iy_i = 7868,663

Σ x_i = 1843,8

Σ y_i = 131,82

Σ x ² _i = 110851,4

Σ y ² _i = 562,6978

3. Вычислим коэффициент корреляции:

4. Вычислим коэффициент детерминации: 0,56²=0,31

5. Вывод: корреляция между длиной листовой пластинки и диаметром штамба прямая, ниже средней степени.

Достаточный объём выборки для оценки достоверности коэффициента корреляции Пирсона. Достаточная численность выборки (N) при изучении коэффициента корреляции представляет собой число пар значений переменных (признаков) у объектов.

Для её расчета необходимо коэффициент корреляции «r» преобразовать в величину «z». Преобразование «r» в «z» можно также осуществлять по специальной статистической таблице (приложение 2.8) или вручную.

Достаточная численность выборки определяется по формуле:

где: z – преобразованная величина «r»;

t_st – критерий Стьюдента t ₀₅ или t ₀₁.

Пример 5. Планируется определить достаточный объём выборки (число пар значений признаков у различных сортов абрикоса) для оценки достоверности коэффициента корреляции «r» между признаками «диаметр плода, мм» и «масса плода, г.

Единицами выборки будут выступать различные сорта абрикоса. У каждого сорта будут определяться две средние арифметические: 1) по диаметру плода (мм); 2) по массе плода (г). Для этого по каждому сорту отбирается репрезентативная выборка, например, по 10-15 плодов, и у каждого плода измеряются 2 параметра «диаметр плода, мм» и «масса плода, г. После этого вычисляются по каждому сорту пара средних арифметических. Совокупность этих пар у разных сортов абрикоса и является исходными данными для вычисления коэффициента корреляции.

Достоверность коэффициента корреляции во многом зависит от объема выборки. В малых выборках достоверность корреляции, как правило, трудно доказать. В больших выборках достоверность корреляции доказать значительно проще. Для доказательства достоверности используют преобразование «r» в показатель «z».

Зададим необходимые для вычислений параметры. Основным параметром является величина коэффициента корреляции «r». Предположим, различные степени связи: от слабой до сильной. Зададим следующие 5 величин «r»: 0,10; 0,30; 0,50; 0,70; 0,90. Рабочая гипотеза состоит в том, что связь между диаметром и массой плода сильная и близка к функциональной. Однако, для исследования зависимости достаточного объема выборки от величины коэффициента корреляции проанализируем все 5 значений коэффициента корреляции. Вначале проведем z -преобразование:

Преобразование коэффициентов корреляции Пирсона «r» в показатели «z»

r	z
0,10	0,1003
0,30	0,3095
0,50	0,5493
0,70	0,8673
0,90	1,4722

Зададим величину t -критерия: t ₀₁=2,58 и вычислим достаточную численность пар значений признаков у различных сортов абрикоса (N) при различных «z»:

На основе сравнительного анализа достаточных объемов выборок можно утверждать следующее:

1) для доказательства достоверности слабых связей ( r <<0,3) необходимы очень большие по объему выборки: N около 700 и более;

2) для связей средней величины (r = 0,3-0,6) N варьирует от 25 до 75 пар значений признаков;

3) для сильных связей (r >0,7) N варьирует от 6 до 12 пар значений признаков, то есть, выборки могут быть очень малыми.

Определим достоверность коэффициентов корреляции путем сравнения t ₀₁ =2,58 с величиной . Если t ₀₁ >  нулевая гипотеза принимается, связь недостоверная. Если t _{01 <}  нулевая гипотеза отвергается, связь достоверная:

Таблица 5.14. Достаточные объемы выборок (N) при различных величинах коэффициента корреляции (t ₀₁=2,58)

r	z	N	t=	H0
0,10	0,1003	662	0,26	принимается
0,30	0,3095	73	2,59	отклоняется
0,50	0,5493	25	2,58	отклоняется
0,70	0,8673	12	2,60	отклоняется
0,90	1,4722	6	2,94	отклоняется

Таким образом, для доказательства достоверности очень слабой корреляции (r = 0,10 и менее) необходимы выборки, включающие более 670 пар значений признаков. Для доказательства достоверности всех остальных корреляций (r >0,1) допустимы достаточные объемы от 6 до 73 пар значений признаков.

Практическое задание 6.4. У 20 плодов яблони сорта «Айдаред» были измерены масса плода «х» (г) и диаметр плода «у» (мм). Постройте точечную корреляционную решетку, вычислите коэффициент корреляции Пирсона, коэффициент детерминации.

х	165	176	175	168	167	172	175	180	179	173
y	56	75	70	61	61	63	72	80	76	68
x	166	178	169	169	170	176	180	169	177	176
y	58	76	60	64	63	71	78	63	75	71

Решение:

Работа сдана «____» ______________ 20__ г.

____________________________________

(подпись студента, электронная