Тема 13.3. Решение линейных уравнений и неравенств

Линейное уравнение одной переменной

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:

· в общей форме: ;

· в канонической форме: .

Линейное уравнение конечного вида:

.

Количество решений зависит от параметров a и b.

Если , то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку

Если , то уравнение не имеет решений, поскольку

Если , то уравнение имеет единственное решение: .

Линейное уравнение двух переменных

Геометрическое место точек линейного уравнения от двух переменных вида:
y = ax + b.

Определение: Уравнением с переменной x называется равенство вида A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. Множество значений x при подстановке которых в уравнение получается истинное числовое равенство, называют множеством истинности данного уравнения или решением данного уравнения, а каждое такое значение переменной — корнем уравнения

Линейное уравнение двух переменных можно представить:

· в общей форме: ;

· в канонической форме: ;

· в форме линейной функции: , где .

Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество. Геометрической моделью (графиком) такого уравнения является прямая: .

Неравенства

Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:

· > (больше),

· < (меньше),

· ≤ (меньше или равно),

· ≥ (больше или равно),

· ≠ (не равно).

Линейное неравенство – это неравенство вида a x + b > 0 (или a x + b < 0), где а и b – любые числа, причем а ≠ 0.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Например, х + 5 < 17.Подставив вместо х значение 1, получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 –верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Свойства числовых неравенств:

1. Если а > b и b > c, то а > с.

2. Если а > b, то а + с > b + с.

3. Если а > b и m > 0, то аm > bm;

4. Если а > b и m < 0, то am < bm.

5. Если а > b и с > d, то a + c > b + d.

6. Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.

7. Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ, n – любое натуральное число.

Алгоритм решения линейных неравенств	Например: решить неравенство 5(х – 3) > 2 х - 3
1. Раскрыть скобки:	5 х – 15 > 2 х - 3
2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный:	5 х – 2 х > -3 + 15
3. Привести подобные слагаемые:	3 х > 12
4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):	3 х > 12: 3 х > 4
5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:
6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:	Ответ: (4; +∞)