Криволинейная трапеция и ее площадь

Пусть на отрезке  дана непрерывная неотрицательная функция (рис.1). Проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции .

   y

         y= f(x)

                                         

a                                           b

0                                            x

          рис.1

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , , прямыми и отрезком оси .

Как вычислить площадь криволинейной трапеции? Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (рис.2), у которой абсцисса точки С равна х, а абсцисса точки D равна . Пусть график функции  пересекает ось ординат в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейной трапеции OAKD и OAHC. Так как площадь криволинейной трапеции OAHC зависит от х, то ее можно обозначить символом S(x). Аналогично, площадь криволинейной трапеции OAKD есть функция от  и ее можно обозначить символом S(). Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности S() и S(x) иможет быть обозначена символом .

Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого из них равна , а площадь второго равна . Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньше площади прямоугольника CHED и не больше площади прямоугольника CMKD, можно записать неравенство.

 

Разделив обе части этого неравенства на  и найдем пределы всех выражений при . Но есть производная функции S(x), а в силу непрерывности функции  имеем . Следовательно, .

Итак, производная площади криволинейной трапеции равна функции, задающей верхнюю границу трапеции.

Поэтому площадь криволинейной трапеции есть одна из первообразных функции, задающей верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования:

y          M                    K

             H                          E

  A f(x)                          f( )

                   x                

  O     C                       D x

                 рис.2

Пусть . Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.3, есть функция от х. Обозначим ее через S(x). Очевидно, что S(a)=0, так как при х=а заштрихованная фигура превращается в отрезок, а S(b)= S есть площадь рассматриваемой криволинейной трапеции.

Замечание. Когда говорят о непрерывности функции  на промежутке , то под этим понимают непрерывность ее в каждой точке этого промежутка, в том числе в точках a и b, т.е., что при стремлении х к а и  при стремлении х к b.

Используя равенство , где  на промежутке , выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции (см.рис.3). Из этого равенства видно, что S(x) есть первообразная для  на промежутке . Пусть – другая первообразная для  на этом же промежутке. В силу основного свойства первообразной имеем .

 

 

  y

          

                            

              y=f(x)

                  

                S(x)

 

 

       

 0         a           x  b                    x

                    рис.3

Последнее равенство верно при всех , так как функции S(x) и  определены в точках a и b. Подставив вместо x число a, получим . Но , поэтому , откуда . Таким образом, .

Подставив в последнее равенство , найдем искомую площадь:

 

(1)

Напомним, что приращением аргумента х при его изменении от  до  называется разность , а приращением функции  при изменении аргумента от  до  называется разность .

Найдем приращение любой первообразной функции  при изменении аргумента от  до :

Полученный результат означает, что при изменении х от  до  все первообразные для данной функции имеют одно и то же приращение, равное .

Это приращение принято называть определенным интегралом.

Определение. Если – первообразная функция для , то приращение  первообразных функций при изменении аргумента х от  до   называется определенным интегралом и обозначается символом , т.е.

,

где – нижний предел, а  – верхний предел определенного интеграла.

Символ читается так: «определенный интеграл от  до  эф от икс дэ икс».

Функция   предполагается непрерывной в промежутке изменения аргумента х от  до .

Для вычисления определенного интеграла   находят:

1) неопределенный интеграл ;

2) значение интеграла   при , С=0, т.е. вычисляют ;

3) значение интеграла   при , С=0, т.е. вычисляют ;

4) разность .

Процесс вычисления виден из формулы:

 

     (2)