Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Параметрическое описание кривой в форме Фергюсона
Параметрическое представление пространственной кривой имеет следующий вид: x = x (u); y = y (u); z = z (u), (2.10) где u – параметр (u Î I, где I – интервал описания). Каждому значению параметра u соответствует одно значение зависимых переменных. При этом каждая переменная изменяется независимо от других. Выбор системы координат не влияет на форму кривой. Для описания кривых обычно используются методы кусочно-линейной аппроксимации полиномами, заданными в параметрической форме. При выборе конкретного метода из множества возможных необходимо выполнить ряд требований: · Методы должны обеспечивать гладкое соединение отдельных кривых. · Методы должны обеспечивать возможность управления формой кривой путём изменения небольшого количества параметров. · Включение нового сегмента кривой не должно нарушать гладкость всей кривой. Перечисленным требованиям удовлетворяет, например, кривая в форме Фергюсона. Плоская кривая в этой форме описывается уравнением вида: P (u) = mu 3 + nu 2 + pu + q, (2.11) где u – параметр; m, n, p, q – постоянные коэффициенты. Значения коэффициентов определяются из следующих предположений: · значение параметра u в начальной точке кривой равно 0; а в конечной точке равно 1; · известны координаты граничных точек кривой P(0) и P(1), а также значения производной в этих точках. С учётом этих предположений величины m, n, p, q находятся из решения следующей системы уравнений: (2.12) Решив эту систему, получаем значения параметров аппроксимации: m = 2 (A – B) + C + D; n = 3 (B – A) – 2 C – D; p = C; q = A. (2.13) Параметрическая кривая, заданная в форме Фергюсона, имеет следующие свойства: · Кривая полностью определена условиями, заданными в граничных точках. · Касательные к кривой, проведенные в граничных точках, параллельны векторам производной. Поэтому возможно гладкое соединение сегментов кривых, если равны координаты их граничных точек. · Изменение модулей векторов производных приводит к изменению формы кривой. Применение кубических сплайн-функций. Функция, которая составлена из полиномов k -й степени, и в узлах является (k -1) раз непрерывно дифференцируемой, называется сплайн-функцией.
Если заданы также опорные точки, через которые проходит кривая, описываемая этой функцией, то она называется интерполирующей сплайн-функцией или сплайном. Функция Q (u) называется кубическим сплайном, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. Задан упорядоченный набор из n +1 точек u 0,…, un (узлы сплайна) и соответствующие этим узлам опорные точки S 0,…, Sn. 2. На каждом интервале (uk, uk –1) для k = 0, 1, 2,…(n – 1) функция Q (u) является кубическим полиномом: fk (u), k =3, т.е.: fk (u) = Ak (u – uk)3 + Bk (u – uk)2 + Ck (u – uk) + Dk. 3. В узлах u 0,…, un функция Q (u) принимает заданные значения S 0,... Sn: Q (uk) = Sk, k = 0, 1, 2,… n. 4. На всём интервале, включая и узлы, Q (u) должна быть дважды непрерывно дифференцируемой функцией: fk ¢(uk) = fk +1¢(uk), fk ¢¢(uk)= fk +1¢¢(uk). 5. Заданы значения первых производных в граничных точках u 0 и un или значения первых двух производных в граничной точке u 0. Преимущества кубических сплайнов: –Удобство использования, так как для построения кривой необходимы только значения сплайн-функции в узлах (опорные точки) и значения первых производных в концевых точках. – На каждом интервале кривая определяется кубическим полиномом. – Так как кривая на всем интервале дважды непрерывно дифференцируема, то у неё нет точек перегиба.
Пример применения метода аппроксимации при формировании оптимальной траектории полета БЛА В качестве примера практического применения метода аппроксимации рассмотрим построение оптимальной траектории полета БЛА класса «поверхность-воздух». Основное требование к оптимальной траектории – распределение перегрузок по траектории должно обеспечивать минимум сопротивления, а, следовательно, и запаса топлива. Принято, что расчетная траектория располагается в вертикальной плоскости, проходя через точку старта и упрежденную точку встречи, и строится в опорной системе координат, у которой ось OX направлена из точки старта в упрежденную точку встречи, ось OY ей перпендикулярна, ось OZ горизонтальна (рис. 2.1). Для аналитического описания траектории в опорной системе координат воспользуемся упрощенным выражением аппроксимирующей зависимости приведенной в работе [17]:
(2.14) Здесь обозначено = y / r т.в, = x / r т.в, где x, y – координаты БЛА в опорной системе координат, r т.в – дальность до упрежденной точки встречи; А i, – варьируемые коэффициенты, n – заданная степень ряда. Рис. 2.1. Опорная траектория ЗУР Отметим попутно, что траектория БЛА в земной системе координат определяется следующим выражением: (2.15) где ɛт.в – угол места в точке встречи, H – высота полета цели, x Г – горизонтальная дальность полета. Выражения для нормированных значений первой и второй производных, необходимые для определения параметров траектории имеют вид: (2.16) Траектория полета БЛА в форме (2.14) отвечает следующим граничным условиям: при =0 траектория проходит через точку старта; при =1 она проходит через точку встречи с целью. Основными параметрами траектории являются: углы наклона траектории в точке старта ϴст и в точке встречи ϴт.в, а также перегрузка в точке встречи. Угол наклона траектории в точке встречи определяется выражением: ϴт.в = ɛт.в + φт.в (2.17) где: =arctg (2.18) φт.в – угол наклона траектории в точке встречи в опорной системе координат определяется через первую производную при =1: φт . в = arctg = – arctg(A1) (2.19) Для обеспечения минимального индуктивного сопротивления по траектории потребную перегрузку в точке встречи (при =1) целесообразно свести к нулю. Потребная перегрузка по траектории включает маневренную составляющую (центростремительная сила, деленная на вес), определяемую через текущую кривизну траектории ρ, и гравитационную составляющую + (2.20) Откуда выражение для потребной нормальной перегрузки запишем в виде: ny = V 2 /(g ρ) + cosϴ, (2.21) В формуле потребной нормальной перегрузки текущая кривизна траектории определяется через вторую производную: (2.22) Тогда окончательно выражение для потребной нормальной перегрузки будет иметь вид: ny = + cosϴ (2.23) Подставляя в (2.16) =1, получим выражения для первой и второй производных в точке встречи: ꞌ= – A 1; (2.24) = – 2(A 1 – A 2). (2.25) В большинстве случаев опорные траектории описываются полиномом 3-го, 4-го порядка (n =2–3). Так, например, при n =2 выражение (2.14) преобразуется к виду: = (A 1 (1– )+ A 2 (1– )2) = A 2 3 – (A 1 +2 A 2) 2 +(A 1 + A 2) (2.26) При условии А1=А2 опорная траектория описывается полиномом: A 1 3 – 3 A 1 2+ 2 A 1 (2.27) Тогда выражения для первой и второй производных преобразуются к виду: ꞌ= А1 (3 2– 6 2) =6 А1 ( –1) (2.28) Рассмотрим граничные условия: при =0: ꞌ= 2А1; = – 6А1 при =1: ꞌ= – А1; = 0. (2.29)
Полученная траектория (2.27) характеризуется тем, что при малых углах подхода к цели ее кривизна и потребная перегрузка (без учета составляющей веса), исходя из (2.24), (2.28) изменяются практически линейно, уменьшаясь до нуля в точке встречи. Значение коэффициента А1 = – =1 могут быть определены (см. 2.19) путем задания желаемого угла наклона траектории в точке встречи в опорной системе координат φт.в. Рекомендуемое в работе [21] значение ˂ 35º. Если в качестве примера задать значение = –30º. Тогда А1 = 0,578 и аналитическое описание траектории ЗУР в опорной системе координат примет вид: = 0,578 3 – 1,734 2+ 1,156 (2.30) Основное требование к оптимальной траектории – обеспечивать минимум сопротивления – реализуется распределением потребных перегрузок по опорной траектории. Оно может быть получено из соотношений (2.23) и (2.16). При известных по траектории значениях скорости V, параметров Ai, высоты Нт.в и дальности до точки встречи r т.в процедура определения ny (t) не вызывает затруднений. Это связано с тем, что опорная траектория задана в виде нормированного полинома с постоянными коэффициентами Ai. При этом кривизна траектории ρ определяется как функция 1-ой и 2-ой производных от опорной траектории, которые, в свою очередь, определяются нормированными полиномами с теми же коэффициентами Ai. Таким образом, аналитическое выражение для траектории полета БЛА в форме (2.14) удовлетворяет требованиям обеспечения минимума сопротивления, а, следовательно, и запаса топлива.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-11; просмотров: 377; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.167.178 (0.021 с.) |