![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод проектирования на одну координатную плоскость. ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Если поверхность S задана уравнением
Данная формула выражает поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость XOY. Пример: найти поток векторного поля Поверхность представляет собой параболоид, обрезанный на высоте
Рис. 3.9 Рис. 3.8
Т.к. проекция на плоскость XOY – круг, то при вычислении двойного интеграла переходим к полярной системе координат. Пример: вычислить поверхностный интеграл второго рода по внешней части конуса
Для вычисления поверхностного интеграла воспользуемся формулой (3.5)
Т.к. конус проектируется на плоскость Х OY кругом радиуса
Учитывая, что нормаль к нижней стороне поверхности составляет тупой угол по отношению к оси OZ, в окончательном ответе должен быть поставлен знак минус, т.е.
3.1.4. Вычисление поверхностных интегралов второго рода с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью. Теорема. Если функции где S - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V. Как уже указывалось выше, дивергенция может быть вычислена через скалярное произведение символического вектора
Это формула трактует дивергенцию векторного поля Пример: найти поток векторного поля Поверхность представляет собой замкнутый при z = 0 и z = 1 цилиндр рис. 3.10 Т.к. поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:
(при вычислении тройного интеграла используем цилиндрическую систему координат):
Пример: найти поток векторного поля
рис. 3.11 Следовательно,
Следовательно, поток векторного поля Если в векторном поле дивергенция равна нулю, то такое поле называется соленоидальным. В соленоидальном векторном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если в точке М(x, y, z) векторного поля Пример: вычислить поток векторного поля где S - замкнутая поверхность: Нормаль внешняя. Поверхность S представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ; в сечении окружность с центром в начале координат, радиуса R = 1. Цилиндрическая поверхность ограничена плоскостью Z = 0 и наклонной плоскостью
рис. 3.12 рис. 3.13 Вычислим дивергенцию
Тогда, Вычислим тройной интеграл в цилиндрической системе координат:
Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если
Поверхность является замкнутой сферой радиуса R = 2, с центром в точке (1;0;0), т.к. Дивергенция векторного поля
Тогда, поверхностный интеграл второго рода, вычисленный по формуле Остроградского-Гаусса примет вид: т.к. по свойствам тройного интеграла Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, нормаль внешняя, если Поверхность S представляет собой пересечение параболоида с конусом: Строим проекции поверхности на вертикальную и горизонтальную плоскости.
рис. 3.14 рис. 3.15 Находим радиус окружности, по которой пересекаются две поверхности вращения:
Тогда
Вычисляем тройной интеграл в цилиндрической системе координат. (Уравнение конуса в цилиндрической системе координат Формула Стокса Формула Стокса связывает криволинейный и поверхностный интегралы второго рода. Пусть в некоторой области пространства задано поле непрерывно дифференцируемого вектора
Выше мы уже определили понятие ротора вектора вектора поля
Тогда по формуле Стокса:
Циркуляция вектора Предполагается, что ориентация нормали
Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы второго рода по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов второго рода. Пример: вычислить циркуляцию вектора L: x 2 + y 2 =4 при z =3; вычисления провести двумя способами: а) непосредственно; б) по формуле Стокса. x 2 + y 2 =4 – круговой цилиндр, радиуса R =2 с образующей, параллельной оси OZ. Контур L - окружность, лежащая в плоскости z =3.
а) Параметрические уравнения линии L: x= 2cos t; y=2sint; z=3; 0 ≤ t ≤ 2π dx= -2sint dt; dy= 2cost dt; dz=0
Вычисляем криволинейный интеграл второго рода. Тогда: б) Вычисления по формуле Стокса начнем с определения ротора векторного поля: Вектор нормали к плоскости z =3 Тогда, по формуле Стокса: При вычислении интеграла воспользовались полярными координатами (x =ρ cos
Пример: найти циркуляцию векторного поля длина нормали Вычислим ротор векторного поля в соответствии с формулой (2.7): Вычислим скалярное произведение ротора вектора поля и единичной нормали:
Следовательно, по формуле Стокса (4.1):
Приложения. Варианты индивидуальных заданий. Вариант № 1. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: ломаная ABCD, AC // OX, CD // OX, DB // OY. A (0, 1, 2), B (1, -1, 3) 3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:
Поверхность замкнутая, нормаль внешняя.
Вариант № 2. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
От точки M (2, 0) до точки N (0, 0).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали. Вариант № 3.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур, полученный пересечением поверхности
3) Вычислить поток векторного поля через заданную замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.
Вариант № 4.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.
Вариант № 5. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности
Вариант № 6. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L:
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:
S: часть поверхности
P: Вариант № 7.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: контур треугольника ABC, где вершины треугольника имеют следующие координаты A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть плоскости
Вариант № 8.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L:
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:
Вариант № 9. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности
Вариант № 10. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении. S: часть поверхности
Вариант № 11.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности
Вариант № 12.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: отрезок AB, соединяющий точки A (1, 2, -2) и B (-2, 1, 4).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности
Вариант № 13. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: замкнутый контур x2+(y-1)2=1, обход в положительном направлении. 3) Вычислить поток векторного поля через часть плоскости S: x /3 + y +2 z =1 расположенную в первом октанте, в направлении внешней нормали. Вариант № 14. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L. L: x2+y2+z2=4, z = 1, (y≥0) от точки M(√3;0;1) до точки N (-√3;0;1).
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали. S:
Вариант № 15. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L. L: замкнутый контур 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S S: Вариант № 16. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L. L: контур треугольника, ограниченного осями координат и прямой 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S S: Вариант № 17. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: замкнутый контур 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали: S: Вариант № 18. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: контур треугольника OAB, где O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,2). 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали: S:
Вариант № 19. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: x2+y2=1, (y≥0) от точки M(1;0) до точки N (-1;0). 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали: S: Вариант № 20. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: 3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали: S:
Вариант № 21. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый): L: 3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали: S: Вариант № 22. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый): L: 3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность (первый октант) в направлении внешней нормали: S:
Вариант № 23. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (замкнутый контур): L: 3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали S: Вариант № 24. 1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля. 2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L: L: 3) Вычислить поток векторного поля через поверхность S в направлении внешней нормали: S: часть плоскости находящаяся в I октанте.
Гиперболоид двуполостный
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 260; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.219.111.195 (0.363 с.) |