Доказать расходимость рядов, используя следствие из необходимого признака сходимости

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

1. Пользуясь признаком сравнения, исследовать на сходимость ряды

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

 

1.  Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

 

1. Исследовать ряды на сходимость, используя радикальный признак Коши

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

 

1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды

 

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дать определение числового ряда, суммы ряда.
2. Какой ряд называется сходящимся? Расходящимся?
3. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.
4. Записать признаки Даламбера, Коши.
5. Дать понятие абсолютной и условной сходимости рядов.
6. Какой ряд называется знакочередующимся?
7. Записать признак Лейбница.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Понятие числового ряда

Числовым рядом называется выражение вида:

(1)

При этом числа  называются членами ряда (1), а _n – общим членом ряда.

Примеры рядов

Из членов бесконечной геометрической прогрессии можно составить ряд:

- ряд геометрической прогрессии

Если, например, взять a = 1, q = , то получим ряд: 

Ряд  называется гармоническим рядом.

 

Сумма первых п членов ряда называется частичной суммой ряда. Таким образом, с рядом (1) связывается последовательность его частичных сумм

S ₁, S ₂, …, S_n, …, где S ₁ = а ₁, S ₂ = а ₁ + а ₂, … S_n = а ₁ + а ₂ + … + а_п, …

Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм, т.е. если существует предел

.

Число S называется суммой ряда.

 

Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

Например, ряд геометрической прогрессии сходится, если . Если , то этот ряд сходится только при а = 0, а в остальных случаях расходится.

Гармонический ряд  расходится.

Свойства рядов

Теорема 1. Если ряд  (1) сходится и его сумма равна S, то для произвольного числа с ряд  (2) тоже сходится, и его сумма равна сS. Если же ряд (1) расходится и с ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

 

Другими словами: сходимость (расходимость) ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же отличное от нуля число.

Теорема 2. Если ряды  (1) и  (3) сходятся и их суммы равны соответственно S₁ и S₃, то и каждый из двух рядов   сходится и его сумма равна соответственно S₁ ± S₃.

Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Следствие: Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Теорема 3. Если в ряде (1) добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным. В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму отброшенных членов.