Если для какой-то системы сил равнодействующая существует, то она геометрически всегда равна главному вектору.

Отсюда следует, что проекции равнодействующей сходящейся системы сил определяются так же, как и проекции главного вектора::

                 .        (4.2)

Модуль равнодействующей равен:

,                                                      (4.3)

а ее направляющие косинусы определяются по формулам:

                (4.4)

 

4.2. УСЛОВИЯ УРАВНОВЕШЕННОСТИ СХОДЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ СИЛ

Система сходящихся сил эквивалентна одной силе, которая по определению является  равнодействующей:

              .

В общем случае сходящаяся система не является уравновешенной.

Исключение составляет случай, когда равнодействующая, а следовательно и главный вектор этой системы сил равны нулю.

Равнодействующая сходящейся системы геометрически равна ее главному вектору  который приложен в точке схода системы.

Отсюда следует           

Вывод:

Для равновесия системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1. В векторной форме:

Главный вектор системы сил должен быть равен нулю,

                                        (4.5)

2. В геометрической форме:

Силовой многоугольник должен быть замкнут.

3. В аналитической форме:

Сумма проекций сил на каждую из координатных осей должна быть равна нулю.

Для системы сходящихся сил в пространстве получаем три уравнения равновесия:

,                                          (4.6)

где в формулах подразумевается суммирование по всем действующим силам, а для системы сходящихся сил, расположенных в одной плоскости (например, в плоскости ху), только два уравнения равновесия:

              ,                                 (4.7)

поскольку третье уравнение будет выполняться автоматически.

 

4.3. ТЕОРЕМА  О ТРЕХ  СИЛАХ

При решении задач иногда удобно пользоваться следующей теоремой: ТЕОРЕМА

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием трех непараллельных сил, необходимо, чтобы эти силы лежали в одной плоскости и линии их действия пересекались в одной точке.

Доказательство

· Пусть на тело действуют (рис. 4.4) три силы

·  Перенесем силы  в точку пересечения линий действия и заменим их равнодействующей, применяя аксиому параллелограмма:     

                            

Все три силы при этом будут лежать в одной плоскости.

· Тогда на тело будут действовать только две силы: .

Под действием двух сил по I-й аксиоме тело может находиться в равновесии только тогда,  когда силы  равны по величине, противоположно направлены и лежат на одной прямой. Это возможно только в том случае, когда три исходные силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.

Рис. 4.4

Примечание

Теорема о трех силах дает только необходимое условие равновесия, без которого равновесие в принципе невозможно. Достаточным условием является замкнутость силового треугольника.

Тема 5.

МОМЕНТЫ СИЛЫ

 

5.1. МОМЕНТ СИЛЫ  ОТНОСИТЕЛЬНО  ТОЧКИ

Величина и направление силы характеризуют действие силы в том случае, если она придает какому-либо телу поступательное движение.

Вращательный эффект силы по отношению к некоторой точке или оси учитывает другая характеристика — момент силы.

Моментом силы  относительно некоторой точки О называется величина , равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из данной точки в точку приложения силы, на саму эту силу:

.                                          (5.1)

Рис. 5.1

Направление и модуль момента силы определяются по обычному правилу  векторного произведения.

Направление момента силы

Вектор-момент силы  перпендикулярен плоскости, проведенной через линию действия силы и точку О (рис. 5.1), и направлен так, чтобы, глядя навстречу ему, видеть силу, стремящейся повернуть эту плоскость против часовой стрелки (правило «правого винта»).

Модуль момента силы

Модуль векторного произведения:

       

или .                                                          (5.2) 

Модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы на ее плечо. Плечом силы называется кратчайшее (длина перпендикуляра) расстояние от точки до линии действия силы.

Единица измерения модуля момента силы [M] = Нм. 

Из формулы (5.2) следует, что

1. момент силы относительно точки равен нулю только в том случае, когда ее плечо равно нулю, т. е. когда линия действия силы проходит через эту точку;

2. момент силы не зависит от того, где взята точка приложения силы на линии ее действия;

3. модуль момента силы равен удвоенной площади треугольника, для которого сила является основанием, а плечо высотой (рис. 5.1).

Аналитическое выражение момента силы относительно точки

Пусть задана сила

,

приложенная в точке , положение которой указано радиус-вектором

,

где  − орты декартовых координатных осей,

 − проекции радиус-вектора,

 − проекции силы на координатные оси.

Запишем векторное произведение (5.1) с помощью определителя:

,

или           (5.3)

Это есть аналитическое выражение момента силы относительно точки О.

 

5.2. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

Моментом силы  относительно некоторой оси    называется скалярная величина , равная проекции (рис. 5.2) на эту ось момента силы, вычисленного относитель­но какой-либо точки О этой оси:

                                                        (5.4)

 

Рис. 5.2

Покажем на рис. 5.2 произвольно расположенную силу и ее вектор-момент относительно некоторой точки О. Если поместить в точку О декартову систему координат Oxyz, и спроецировать вектор-момент на оси этой системы, то полученные проекции по определению будут являться моментами силы относительно координатных осей. Если аналитически представить вектор-момент силы через его проекции на оси

    ,                                (5.5)

то сравнивая (5.5) с (5.3), получим аналитические выражения для моментов силы относительно координатных осей, проходящих через центр О:

                                               (5.6)

5.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

Выберем точку О, принадлежащую некоторой оси z.

Спроецируем вектора  и  на плоскость П, которая перпендикулярна оси z. Проекции обозначим  и . Проекции этих векторов на ось z равны нулю. С помощью приведенных выше формул (5.5) и (5.6) можно убедиться в том, что величина момента силы  относительно центра О в точности равна моменту силы  относительно оси z. 

То есть

для того, чтобы вычислить момент силы относительно оси z, необходимо выполнить следующие действия:

1. Спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси.

2. Найти модуль момента, для чего следует умножить модуль проекции на ее плечо .