Проверка статистических гипотез

           Условимся называть статистической гипотезой всякое предположение о виде закона распределения некоторого признака генеральной совокупности.

           Проверку правильности или неправильности выдвинутой гипотезы проводят статистическими методами с помощью критерия согласия. Под критерием согласия подразумевают совокупность условий, подтверждающих справедливость принятой гипотезы. В результате такой проверки может быть принято правильное или неправильное решение. Поэтому при оценке согласованности выдвинутой гипотезы возможны ошибки двух типов: если отклоняется правильная гипотеза и если принимается ложная гипотеза.

 Ошибки первого типа относятся к ошибкам первого рода; ошибки второго типа – к ошибкам второго рода.

Вероятность ошибки первого рода обычно обозначают через α и называют уровнем значимости критерия согласия.

Вероятность ошибки второго рода обозначают через β. Величину (1 -β), т.е. вероятность того, что будет отвергнута ошибочная гипотеза, называют мощностью критерия.

           Для проверки справедливости гипотезы о законе распределения случайной величины используют несколько критериев, различных по мощности и методу обработки исходных данных, из которых наиболее распространенными являются критерий Колмогорова и критерий χ² (хи-квадрат) Пирсона. Первый используется в случае, когда параметры распределения известны до опыта и требуется после опыта проверить согласованность теоретического и экспериментального распределения, второй – при неизвестных параметрах распределения.

           Для применения критерия χ² при оценивании согласия теоретического и статистического распределений вариационный ряд эмпирических значений разбивают на k равных интервалов. Число значений ряда в интервале (эмпирическая частота) обозначают буквой n_i. Зная границы каждого интервала и принятый закон распределения, можно найти вероятность попадания случайной величины в этот интервал р _i. После этого из формулы  находится теоретическая частота появления события . Для определения меры расхождения по критерию χ²  используют выражение:

 

(9.1)

               

Полученное значение χ² сравнивают с критическим значением этого критерия. Значение  выбирают по таблице в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы r = k -1- m, где k – это число интервалов, m – число параметров предполагаемого распределения.

           Гипотезу о предполагаемом законе распределения считают справедливой при условии . Если , гипотезу отвергают.

Пример 9.1. По полученным в результате измерений данным (табл.9.1.) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

 

 

Таблица 9.1.

Номер интервала	Границы интервала		Частота	Середина интервала	Квадрат середины интервала	Разности		Границы
i			ni					zi	Zi+1
1	4	6	15	5	25	-8,63	-6,63	-1,84	-1,41
2	6	8	26	7	49	-6,63	-4,63	-1,41	-0,99
3	8	10	25	9	81	-4,63	-2,63	-0,99	-0,56
4	10	12	30	11	121	-2,63	-0,63	-0,56	-0,13
5	12	14	26	13	169	-0,63	1,37	-0,13	0,29
6	14	16	21	15	225	1,37	3,37	0,29	0,72
7	16	18	24	17	289	3,37	5,37	0,72	1,14
8	18	20	20	19	361	5,37	7,37	1,14	1,57
9	20	22	13	21	441	7,37	9,37	1,57	1,99
Σ			n =200

 

Решение: Вычисляем среднее значение интервала  и находим .Далее находим . Используя для выборочной дисперсии формулу , находим D _в =181,56-159,52=22,04. Отсюда .

Для того чтобы вычислить теоретические вероятности попадания случайных величин в интервалы (x_i, x_i+1), на основании таблиц функции Лапласа находим значения Ф(z_i) и Ф(z_i+1).

После этого составляем еще одну таблицу для расчета теоретических частот (табл.9.2)

Таблица 9.2

Номер интервала i	Границы		Ф(zi)	Ф(zi+1)	Pi= Ф(zi)- Ф(zi+1)
	Zi	Zi+1
1	-1,84	-1,41	-0,4671	-0,4207	0,0464	9,28
2	-1,41	-0,99	-0,4207	-0,3389	0,0818	16,36
3	-0,99	-0,56	-0,3389	-0,2123	0,1266	25,32
4	-0,56	-0,13	-0,2123	-0,0517	0,1606	32,12
5	-0,13	0,29	-0,0517	0,1141	0,1658	33,16
6	0,29	0,72	0,1141	0,2642	0,1501	30,02
7	0,72	1,14	0,2642	0,3729	0,1087	21,74
8	1,14	1,57	0,3729	0,4418	0,0689	13,78
9	1,57	1,99	0,4418	0,4767	0,0349	6,98

 

Составляем таблицу для определения  (табл.9.3)

Таблица 9.3

i	ni
1	15	9,28	5,72	32,7	3,52
2	26	16,36	9,64	92,9	5,68
3	25	25,32	-0,32	0,1	0
4	30	32,12	-2,12	4,5	0,14
5	26	33,16	-7,16	52,3	1,58
6	21	30,02	-9,02	81,4	2,75
7	24	21,74	2,26	5,1	0,23
8	20	13,78	6,22	38,7	2,8
9	13	6,98	6,02	36,2	5,2
å					21,9

 

Число степеней свободы r =9-3=6, по уровню значимости a=0,05 и r =6 из таблицы распределения c² находим . Так как , то гипотеза отвергается, следовательно, требуется либо изменить вид закона, либо повторить опыты.

Задачи теории корреляции

Функциональной зависимостью называется такая связь между переменными величинами, при которой зависимая величина - функция - полностью определяется значениями влияющих независимых величин - аргументов. Вид зависимости между аргументами и функцией обычно задается в виде формулы.

Наиболее часто на практике используются: линейная функция y = ax + b, гиперболическая , показательная - , степенная (обычно парабола) - .

Корреляционная зависимость - это такая связь между величинами, когда определенным значениям влияющих величин - факторов соответствуют множество значений зависимой величины, распределенных по известному закону распределения.

Например, чем больше товарооборот x, тем больше должна быть сумма издержек обращения y (x), однако, если фактические данные о товарообороте и издержках, полученных от разных потребительских обществ, нанести в виде точек на координатную плоскость (x, y), то они могут иметь вид прямолинейного вытянутого облака -корреляционного поля (рис.10.1.)

Под корреляционной зависимостью y от x понимается зависимость условной средней  от x, т.е. . Это равенство называется уравнением регрессии y на х. Вместе с регрессией y на х всегда может быть построена и регрессия   x на y, с уравнением .

При определении корреляционной зависимости, решаются две задачи:

1. установить форму корреляционной зависимости, т.е. вид функции;

2. оценить тесноту (силу) корреляционной связи (она оценивается по величине рассеяния значений y вокруг условного среднего . Чем меньше рассеяние, тем сильнее корреляционная зависимость).