Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема 1. Функция одной переменной: определение,Стр 1 из 2Следующая ⇒
Тема 1. Функция одной переменной: определение, способы задания. Построение графиков. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ и ПРИМЕРЫ Определение функции Определение. Пусть даны два числовых множества и . Функцией, заданной на множестве , называется закон (правило) , по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Обозначение функции: , где – аргумент функции или независимая переменная, – значение функции или зависимая переменная, – закон соответствия, – область определения функции, – область значений функции. Под областью определения функции понимается множество значений аргумента , при которых функция имеет смысл. Областью значений функции является множество значений переменной , которые принимает функция в ее области определения. 2. Нахождение области определения функций Для нахождения области определения функции необходимо записать математически условия для , при которых функция имеет смысл, или исключить из множества всех действительных чисел те значения аргумента , при которых функция не имеет смысл. Если есть сумма, разность или произведение функций , , …, , то областью определения функции является пересечение областей определений этих функций:
Пример 1. Найти области определения функций:
1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Решение. 1. . Это - линейная функция, она определена при любых действительных значениях . Значит, область определения . 2. . В числителе нет «особенностей», а з наменатель дроби должен быть не равен нулю: . Найдем точки , при которых знаменатель равен нулю: , Полученное уравнение имеет два корня: , . Исключим эти точки из числового промежутка : . Ответ: . 3. . Область определения данной функции – это множество значений , при которых подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля, . Разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле , где - корни квадратного уравнения .
, ,
, . Неравенство примет вид . Отметим найденные корни и на числовой оси. Определим, на каких интервалах , , выполняется неравенство . Подставим какое-либо значение в это неравенство: при получим: , при получим: , при получим: . Точки и не входят в решение неравенства (см. рис. 1).
Рис. 1. Графическое представление решения примера 3
На и выполняется . Значит, область определения Ответ: .
4. . Данная функция является суммой функций . Значит, ее область определения является пересечением (общей частью) областей определения каждой функции: . Первая функция определена, если ее знаменатель не равен нулю, т.е. , т.е. . Вторая функция имеет смысл, если подкоренное выражение больше или равно нулю, т.е. , или Решим систему найденных условий: , отсюда или . С помощью числовых промежутков область определения функции запишется так: .
3. Способы задания функций А. Аналитический способ: функция задается с помощью одной или нескольких формул или уравнений. Наиболее удобный способ задания функции действительного аргумента предполагает такое ее определение, в котором прямо указывается, какие алгебраические действия и в каком порядке надо произвести над величиной , чтобы получить соответствующее значение . Например, , и т.д. Функция может быть задана не только одной формулой (например, ), но и разными формулами на определенных числовых промежутках (кусочно-аналитическое задание функции): например, Эта функция называется «абсолютная величина ».
Пример 2. Вычислить значения функции при , , . Решение. Значение удовлетворяет условию , поэтому подставляем в выражение . Получим . Значение также удовлетворяет условию , поэтому подставляем в выражение . Получим: . Значение удовлетворяет условию , поэтому подставляем в выражение . Получим . Ответ: , , . В. Графический способ Графиком функции называется множество точек плоскости , абсциссы которых есть значения аргумента из области определения, а ординаты – соответствующие им значения функции . Пример. Функция «абсолютная величина »: . Функция задана с помощью двух функций на разных числовых промежутках. Поэтому график функции «склеен» из двух графиков – графика на промежутке и графика на промежутке .
4. Преобразования графиков функций
Построение графиков функций вида и производится в несколько этапов (действий), используя последовательно преобразования графиков. Правило 1. Сдвиг (перенос) на данный отрезок вдоль оси абсцисс . Чтобы построить график функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на единиц вправо (при ) и на единиц влево (при ). Правило 2. Сдвиг (перенос) на данный отрезок вдоль оси ординат . Чтобы построить график функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на единиц вверх (при ) и на единиц вниз (при ). Правило 3. Растяжение (или сжатие) вдоль оси абсцисс . График функции получается их графика функции сжатием вдоль оси в раз (при ), или растяжением в раз (при ). Правило 4. Растяжение (или сжатие) вдоль оси ординат. График функции получается их графика функции растяжением вдоль оси в раз (при ), или сжатием в раз (при ). Правило 5. Зеркальное отображение относительно оси абсцисс Чтобы построить график функции , нужно оставить без изменения те участки графика функции , где , и зеркально отобразить относительно оси участки графика , где . Замечания. 1. График функции строят, применяя в определенной последовательности описанные выше преобразования: · сначала строим графики и ; · затем – график ; · далее строим график ; · наконец, получаем график функции . Пример 3. Построить график функции с помощью преобразований графика функции . Решение. 1. Строим график функции .
2. Для построения искомого графика нужно: 1) график сдвинуть по оси ОХ вправо на 1 ед. (правило 1); получим график ; 2) график поднять на 2 ед. вверх по оси ОУ (правило 2), получим график функции .
2
График функции
5. Построение графиков кусочно заданных функций ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Тема 1. Функция одной переменной: определение, способы задания. Построение графиков. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ и ПРИМЕРЫ Определение функции Определение. Пусть даны два числовых множества и . Функцией, заданной на множестве , называется закон (правило) , по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Обозначение функции: , где – аргумент функции или независимая переменная, – значение функции или зависимая переменная, – закон соответствия, – область определения функции, – область значений функции. Под областью определения функции понимается множество значений аргумента , при которых функция имеет смысл. Областью значений функции является множество значений переменной , которые принимает функция в ее области определения. 2. Нахождение области определения функций Для нахождения области определения функции необходимо записать математически условия для , при которых функция имеет смысл, или исключить из множества всех действительных чисел те значения аргумента , при которых функция не имеет смысл. Если есть сумма, разность или произведение функций , , …, , то областью определения функции является пересечение областей определений этих функций:
Пример 1. Найти области определения функций:
1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Решение. 1. . Это - линейная функция, она определена при любых действительных значениях . Значит, область определения . 2. . В числителе нет «особенностей», а з наменатель дроби должен быть не равен нулю: . Найдем точки , при которых знаменатель равен нулю: , Полученное уравнение имеет два корня: , . Исключим эти точки из числового промежутка : . Ответ: . 3. . Область определения данной функции – это множество значений , при которых подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля, . Разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле , где - корни квадратного уравнения .
, ,
, . Неравенство примет вид . Отметим найденные корни и на числовой оси. Определим, на каких интервалах , , выполняется неравенство . Подставим какое-либо значение в это неравенство: при получим: , при получим: , при получим: . Точки и не входят в решение неравенства (см. рис. 1). Рис. 1. Графическое представление решения примера 3
На и выполняется . Значит, область определения Ответ: .
4. . Данная функция является суммой функций . Значит, ее область определения является пересечением (общей частью) областей определения каждой функции: . Первая функция определена, если ее знаменатель не равен нулю, т.е. , т.е. . Вторая функция имеет смысл, если подкоренное выражение больше или равно нулю, т.е. , или Решим систему найденных условий: , отсюда или . С помощью числовых промежутков область определения функции запишется так: .
3. Способы задания функций А. Аналитический способ: функция задается с помощью одной или нескольких формул или уравнений. Наиболее удобный способ задания функции действительного аргумента предполагает такое ее определение, в котором прямо указывается, какие алгебраические действия и в каком порядке надо произвести над величиной , чтобы получить соответствующее значение . Например, , и т.д. Функция может быть задана не только одной формулой (например, ), но и разными формулами на определенных числовых промежутках (кусочно-аналитическое задание функции): например, Эта функция называется «абсолютная величина ».
Пример 2. Вычислить значения функции при , , . Решение.
Значение удовлетворяет условию , поэтому подставляем в выражение . Получим . Значение также удовлетворяет условию , поэтому подставляем в выражение . Получим: . Значение удовлетворяет условию , поэтому подставляем в выражение . Получим . Ответ: , , . В. Графический способ Графиком функции называется множество точек плоскости , абсциссы которых есть значения аргумента из области определения, а ординаты – соответствующие им значения функции . Пример. Функция «абсолютная величина »: . Функция задана с помощью двух функций на разных числовых промежутках. Поэтому график функции «склеен» из двух графиков – графика на промежутке и графика на промежутке .
4. Преобразования графиков функций
Построение графиков функций вида и производится в несколько этапов (действий), используя последовательно преобразования графиков. Правило 1. Сдвиг (перенос) на данный отрезок вдоль оси абсцисс . Чтобы построить график функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на единиц вправо (при ) и на единиц влево (при ). Правило 2. Сдвиг (перенос) на данный отрезок вдоль оси ординат . Чтобы построить график функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на единиц вверх (при ) и на единиц вниз (при ). Правило 3. Растяжение (или сжатие) вдоль оси абсцисс . График функции получается их графика функции сжатием вдоль оси в раз (при ), или растяжением в раз (при ). Правило 4. Растяжение (или сжатие) вдоль оси ординат. График функции получается их графика функции растяжением вдоль оси в раз (при ), или сжатием в раз (при ). Правило 5. Зеркальное отображение относительно оси абсцисс Чтобы построить график функции , нужно оставить без изменения те участки графика функции , где , и зеркально отобразить относительно оси участки графика , где . Замечания. 1. График функции строят, применяя в определенной последовательности описанные выше преобразования: · сначала строим графики и ; · затем – график ; · далее строим график ; · наконец, получаем график функции . Пример 3. Построить график функции с помощью преобразований графика функции . Решение. 1. Строим график функции .
2. Для построения искомого графика нужно: 1) график сдвинуть по оси ОХ вправо на 1 ед. (правило 1); получим график ; 2) график поднять на 2 ед. вверх по оси ОУ (правило 2), получим график функции .
2
График функции
5. Построение графиков кусочно заданных функций
|
||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; просмотров: 238; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.13.180 (0.21 с.) |