Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Обыкновенные дифференциальные уравненияСтр 1 из 5Следующая ⇒
Обыкновенные дифференциальные уравнения Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Многие задачи естествознания приводят к нахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. В качестве иллюстрации рассмотрим следующие примеры. Пример 1. Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 секунды после начала замедления, если м/с, а м/с. Решение: примем за независимую переменную время , отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки будет функцией от , т. е. . Для нахождения воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): , где - есть ускорение движущегося тела, - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. В данном случае , – коэффициент пропорциональности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция является решением дифференциального уравнения или . Здесь – масса тела. Тогда , где – const. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 секунды после начала замедления. Найдем сначала параметры и . Согласно условию задачи, имеем: и . Отсюда и . Следовательно, скорость точки изменяется по закону . Поэтому м/с. Задача 2. Кривая проходит через точку и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение этой кривой. Решение. Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую искомой кривой. На чертеже изобразим некоторую кривую , произвольную точку и касательную , проведённую к графику функции в данной точке (рис.1). Рис.1. У гловой коэффициент касательной равен тангенсу её угла наклона и равен значению производной в точке : или коротко . По условию, угловой коэффициент касательной в любой точке кривой пропорционален квадрату ординаты точки касания: , где – коэффициент пропорциональности. В данной задаче . Таким образом, получаем следующее дифференциальное уравнение: . Решим это уравнение.
– общее решение, где – произвольная постоянная. В результате мы получили целое семейство функций, удовлетворяющих критерию задачи. Но в условии есть уточнение: кривая проходит через точку . Решим задачу Коши, т.е. найдём соответствующее частное решение. Подставим в общее решение координаты этой точки: . Таким образом, уравнение искомой кривой: Ответ: . Однородные уравнения. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение вида называется однородным. При помощи подстановки или , где – новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Можно также применить подстановку . Задача 3. Найти общее решение уравнения . Решение. Полагаем ; тогда или Интегрируя, получим , отсюда Уравнения, приводящиеся к однородным. Если
и , то, полагая в уравнении (5) , , где постоянные и определяются из системы уравнений , получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных и . Если , то полагая в уравнении (5) , получим уравнение с разделяющимися переменными для новой неизвестной функции . Задача 4. Решить уравнение
Решение. Составим определитель Положим в уравнении (6) , , где постоянные и определяются из системы уравнений с помощью формул Крамера , . Положим в уравнении (6) , и учитывая, что , получим Введем новую переменную , . Тогда , где .Уравнение (6) примет вид
Полученное уравнение (7) является уравнением с разделяющимися переменными; решение подобного уравнения было описано выше. Обыкновенные дифференциальные уравнения
|
||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 105; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.14.88.137 (0.009 с.) |