Воздействие случайных процессов на линейные цепи

 

Задача статистического анализа линейных цепей или систем формулируется следующим образом:: на вход линейной системы с заданной импульсной характеристикой h(t) или комплексной частотной характеристикой K (ω) действует случайный процесс X(t) с заданной многомерной ПРВ .

Требуется найти многомерную той же размерности n или меньшей плотность ПРВ случайного процесса y(t) на выходе линейной системы.

Это есть самый желательный вид решения данной задачи.

Зная многомерную ПРВ случайного процесса y(t), можно найти все другие его статистические характеристики.

Решение данной задачи в существенной мере зависит от того, являются ли начальные условия нулевыми или нет, рассматривается переходный режим работы линейной системы или установившийся (стационарный), является ли линейная система системой с детерминированными параметрами или случайными и т.д.

Данная задача в сформулированном виде представляла собой в течение многих десятилетий одну из самых важных и сложных задач статистической радиотехники, радиофизики, теории связи и других областей науки.

Для решения этой задачи были разработаны несколько методов, которые уместно назвать косвенными: метод моментов и моментных функций, метод квазимоментных функций, метод кумулятивных функций, метод дифференциальных уравнений, метод полигауссовых приближений, метод ортогональных разложений и метод статистических испытаний.

Дело в том, что только в одном случае, а именно, когда на входе линейной системы действует гауссовский случайный процесс, эта задача решается совсем просто, т.к. случайный процесс на выходе линейной системы также будет гауссовским, а, следовательно, нужно найти лишь математическое ожидание и дисперсию процесса на выходе.

Если случайный процесс на входе линейной системы не является гауссовским, то перечисленные методы позволяют найти в лучшем случае двумерную ПРВ случайного процесса y(t) на выходе линейной системы.

Проблемы, возникающие при решении задачи статистического анализа линейных систем известными методами, рассмотрим на примере использования метода моментов и моментных функций.

Пусть для случайного процесса x(t) на входе линейной системы задана многомерная ПРВ: .

Проблемы принципиального порядка возникают уже при отыскании одномерной ПРВ  случайного процесса y(t) на выходе линейной системы с постоянными параметрами.

Для неё справедлив интеграл Дюамеля:

.

Для отыскания ПРВ  приходится использовать пару преобразований, связывающих  и её характеристическую функцию :

.

Используя разложение характеристической функции  в ряд Маклорена, можно показать, что коэффициенты этого разложения являются начальными моментами различного порядка случайного процесса y(t):

,

где .

Следовательно задача сводится к отысканию начальных моментов m_k:

.

 

Для отыскания m₃ понадобится p(x₁,x₂,x₃;t₁,t₂,t₃) и т.д.

Так как ряд Маклорена функции  бесконечен, то нужна ПРВ случайного процесса x(t) на входе линейной системы бесконечной размерности, т.е. . Выполнить это требование практически невозможно. Так появилась первая принципиальная трудность.

Если ряд Маклорена для  ограничить конечным числом слагаемых, т.е. допустить, что при  все , то возникает вторая принципиальная трудность, состоящая в том, что не существует несингулярной функции, все высшие моменты которой равнялись бы нулю [3].

Непрерывную функцию с ограниченным изменением принято называть сингулярной, если её производная равна нулю почти всюду.

Похожие трудности возникают при использовании других известных методов статистического анализа линейных систем.

С точки зрения возможности этих методов, статистический анализ линейных систем в переходном режиме являются самым сложным.

В последние годы разработан метод прямого статистического анализа линейных систем, который позволяет сравнительно просто решить рассматриваемую задачу для любых случайных (в том числе произвольных негауссовских) процессов, действующих на входе линейной системы.

Рассмотрим наиболее простой случай.

Пусть заданная импульсная характеристика h(t) описывает устойчивую одномерную линейную систему с постоянными параметрами произвольного порядка.

Метод прямого статистического анализа линейных систем основывается на вводимом описании линейных систем в вероятностной области. При этом многомерная плотность распределения вероятностей мгновенных значений импульсной характеристики h(t) линейной системы с постоянными параметрами определяется выражением:

,                                                   (2)

где h_k – аргумент многомерной ПРВ в общем случае, h_p(t_k) – выборочное значение детерминированной регулярной функции или импульсной характеристики h_p(t) линейной системы на интервале , – эффективная длительность импульсной характеристики, т.е. максимальный интервал времени, по истечении которого значениями h(t) можно пренебречь:

линейная система 1-го порядка            линейная система 2-го порядка

Рис. 27 – Выборочные значения импульсных характеристик (справа – частный случай)

Полагаем для определенности, что:

1) собственный шум линейной системы пренебрежимо мал;

2) случайные величины x₁,x₂,...,x_n принимают действительные значения в интервале (-∞, +∞);

3) параметры линейной системы не зависят от случайного процесса X(t);

4) начальные условия нулевые;

5) рассматривается переходный процесс в работе линейной системы.

При принятых условиях случайный процесс на выходе рассматриваемой линейной системы определяется интервалом Дюамеля:

.                                                                                           (3)

С целью упрощения рассмотрим линейную систему 1-го порядка. Тогда случайный процесс x(t) на входе линейной системы и её импульсную характеристику можно изобразить так

 

Рис. 28 – Случайный процесс и импульсная характеристика линейной цепи 1-го

          порядка

При отыскании случайного процесса y(t) на выходе линейной системы можно воспользоваться следующим геометрическим представлением (рис.29)

 

    Рис. 29 – Пояснение процесса формирования интеграла Дюамеля

 

Пусть подынтегральная функция определяется пунктирной линией. Из рисунка видно, что y(t) определяется при этом заштрихованной площадью.

       

                   Рис. 30 – Формирование множителей интегральной суммы

 

 Заменим интеграл Дюамеля «верхней» интегральной суммой:

,                                                           (4)

\где , .

Известно, что оценка  сходится в среднеквадратическом смысле к y(t) при n→∞ (при этом ).

Аналогично (2) множество величин

 

,                                                         (5)

входящих в правую часть (4), имеет совместную ПРВ вида

.                                              (6)

Выполним следующее функциональное преобразование величины , входящих в (5):

                                                                                                        (7)

Обратные функции однозначны:

                                                                                                            (8)

Якобиан преобразования от величин  к величинам  имеет вид

.                                                          (9)

Тогда с учётом (6) – (9) совместная ПРВ величин  определяется выражением:

.                                  (10)

Здесь мы воспользовались следующим свойством дельта-функции:

.

Используя принятое условие о независимости параметров линейной системы от входного случайного процесса x(t), совместную ПРВ множеств {x₁,…,x_n} и {*h_1*,…,*h_n*} запишем в виде:

.      (11)

Выполним следующее функциональное преобразование величин *h_1*,…,*h_n*, входящих в (11), оставляя остальные случайные величины неизменными:

                                                                                                 (12)

Обратные функции однозначны:

                                                                                                        (13)

Якобиан преобразования от величин x₁,…,x_n, *h_1*,…,*h_n* к случайным величинам x₁,…,x_n, y₁,…,y_n

.                                         (14)

Тогда с учетом (10) – (14) совместная ПРВ случайных величин x₁,…,x_n, y₁,…,y_n принимает вид

.      (15)

Воспользовавшись условием согласованности многомерной ПРВ и интегрируя (15) по переменным x₁,…,x_n с использованием фильтрующего свойства дельта-функции, получим:

.      (16)

В соответствии с (4) выполним следующее функциональное преобразование случайных величин, входящих в (16):

                                                                        (17)

 

Обратные функции однозначны:

                                                                                                 (18)

Якобиан преобразования от случайных величин к случайным величинам  равны единице.

Тогда с учетом (16) – (18) совместная ПРВ случайных величин имеет вид

.  (19)

Выражение (19) есть искомая многомерная произвольной размерности ПРВ случайного процесса y(t) на выходе линейной системы.

Интегрируя (19) по “лишним” переменным, в соответствии с условием согласованности можно получить одномерную ПРВ соответствующую тому или иному моменту наблюдения t_k. Например, для  будем иметь

.       (20)

Если входной случайный процесс X(t) является стационарным, а интервал наблюдения (0,t) равен , то выражение (20) можно также рассматривать как одномерную ПРВ случайного процесса y(t) на выходе линейной системы в установившимся режиме, т.е. после окончания переходного процесса. Таким образом, поставленная задача решена полностью.

Очень часто при решении задачи статистического анализа линейных систем ограничиваются заданием отдельных характеристик входного случайного процесса x(t), таких как спектральная плотность мощности W_x(ω), корреляционная функция R(τ) и т.д.

В этом случае спектральная плотность мощности случайного процесса y(t) на выходе линейной системы определяется выражением:

.

Для корреляционной функции имеем:

.

Тогда .

Рассмотрим два предельных случая.

1. Эффективная ширина спектра  спектральной плотности W_x(ω) много больше полосы пропускания линейной системы.

Тогда в пределах полосы пропускания линейной системы можно положить, что .

Тогда

2. Эффективная ширина спектра  W_x(ω) много << полосы пропускания линейной цепи. Тогда в той части спектра, которую занимает W_x(ω), можно положить K²(ω)=K²₀.

 

          Рис.31 – Случай, когда эффективная ширина спектра шума много меньше

                         полосы пропускания линейной цепи

 

Тогда

Взаимная корреляционная функция случайных процессов на выходе и входе линейной цепи имеет вид

,

или

,

где  – корреляционная функция случайного процесса x(t),

  h(.) – импульсная характеристика линейной системы.

Взаимная корреляционная функция R_xy(τ) может быть получена так (через взаимный энергетический спектр):

Аналогично:

 .