Сумма произведения масс материальных точек на квадрат расстояния от этих точек до оси вращения называется моментом инерции материальных точек.

                                             (4)

Момент инерции – это мера инертности тела при его вращательном движении. [ кг∙м² ]

Тело имеет момент инерции в том случае, если оно имеет ось вращения.

Сумма моментов внутренних сил f_i взаимодействия между материальными точками тела равна нулю:

  - равна моменту результирующей силы.

 

Таким образом, уравнение (4) имеет вид:

            или                                      

                                                        (5)

Уравнение (5) называется основным законом динамики вращательного движения.

 

3. Теорема Штейнера

В динамике вращательного движения твёрдого тела момент инерции играет такую же роль, как и масса в динамике поступательного движения. Но в отличие от поступательного движения при вращении существенным является распределение массы относительно оси вращения. Вот тут и проявляется вся важная многозначность моментов инерции. Каждое тело, независимо от типа совершаемого им движения, обладает вполне определённым моментом инерции, величина которого зависит от геометрических и физических особенностей тела. Если известна плотность тела, то момент инерции определяется как

Где

Рассмотрим методику вычисления момента инерции геометрически простых тел, например, момент инерции однородного диска радиусом r и высотой b. Учтем, что  

Момент инерции диска относительно оси z равен:

 

Выражения для моментов инерции некоторых однородных тел пра­вильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центр масс приведены в табл.

 

Тело	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса r и массой m
Сплошной цилиндр радиуса r и массой m
Тонкое кольцо радиуса r и массой m
шар радиуса r и массой m
Прямой тонкий стержень длиной l и массой m

 

Момент инерции тела относительно некоторой оси фактически описывает распределение массы тела относительно этой оси. Поэтому он существенно зависит от того, вокруг какой оси рассматривается вращение и как распределена масса тела относительно этой оси. Например, момент инерции тонкого прямого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, в 4 раза больше, чем момент инерции этого стержня относительно его оси симметрии.

При вычислениях моментов инерции часто бывает полезной теорема о переносе осей инерции (теорема Штейнера): Момент инерции тела относительно произвольной оси z’ равен сумме моментов инерции тела относительно параллельной ей оси z, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

Рассмотрим момент инерции стержня, если ось вращения проходит через один из концов стержня Z₁, если

4. Закон сохранения момента импульса

 

Из основного закона динамики вращательного движения можно получить закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

          (6)    

Моментом импульса абсолютно твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных материальных точек:

               (7)

Направление вектора момента импульса определяется по правилу правого винта. Единицы измерения

Так как связь линейной и угловой скорости:  , то

  (8)

Так как то

Момент импульса:

или       (9)