Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основная теорема гидростатики
Гидростатическое давление в данной точке не зависит от направления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям. Докажем, что рх = ру = р z = р n, где рх, р y, р z, р n –представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении координатных осей ox, oy, oz и в некотором произвольном направлении N- N (рис. 2.2).
Рис. 2.2 Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, соответст-венно параллельными координатным осям, и с массой dm = ,
Представим, что жидкость внутри тетраэдра – в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия. Воспользуемся известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов: (2.3) Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения моментов такой системы удовлетворяются тождественно, а действующие на него силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку. Таким образом, остается только три проекции сил: (2.4) К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы. К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр. Таких сил будет четыре (по числу граней). На грань АВС действует сила , (2.5)
Сила dPx параллельна оси ox, направлена в противоположную сторону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс». Силы dPy и dPz,действующие на грани ABD и ACD, соответственно параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны нулю. Четвертая сила dPn – сила давления на грань ВС D равна: , (2.6)
Проекция этой силы на ось ox: . (2.7) Эта сила направлена в отрицательную сторону оси ox. Произведение d wcos(N, ox) представляет собой проекцию площади треугольника BCD на плоскость у oz и равно: . (2.8) Тогда проекция силы dPn на ось ox численно равна:
. (2.9) Аналогично можно записать проекции силы dPn на оси oy и oz: (2.10) Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к равнодействующей dR, образующей с координатными осями углы a, b, g и равной: , (2.11)
,
Обозначим проекции ускорения j по координатным осям x, y, z, т.е. примем, что Тогда проекции объемной силы dR равны: (2.12) Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12): . (2.13) Или после сокращения на dydz: . Пренебрегая dxX как бесконечно малым относительно px и pn, получаем px – pn = 0или px = pn. Аналогично py = pn и pz = pn. Следовательно, px = py = pz = pn. (2.14) Что и надо было доказать. Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому направлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направления действия.
2.4. Условие равновесия жидкости Жидкость может сохранять свое равновесное состояние в том случае, если внешние силы, действующие в точках граничной поверхности, направлены только по внутренним нормалям к этой поверхности. Очевидно, что действие силы давления по внешней нормали приводит к нарушению равновесия, т.к. жидкость не оказывает сопротивления растягивающим силам. Касательные силы возникают при движении жидкости, поэтому при равновесии жидкости, находящейся в покое, они равны нулю. Следствие. Так как гидростатическое давление одинаково по всем направлениям в данной точке, а в различных точках данного объема жидкости в общем случае различно, то (2.15) В общем случае, когда изменяется атмосферное давление во времени: . (2.16)
2.5. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости (Уравнение Эйлера) Выделим в жидкости элементарный параллелепипед ABCDA ¢ B ¢ C ¢ D ¢ (рис. 2.3). Полагая его твердым телом, составим три уравнения проекций действующих сил:
=0; =0; =0.
Рис. 2.3 Уравнение моментов исключается. Составим уравнение проекции сил на ось ox, т.е. уравнение = 0. Равновесие параллелепипеда обеспечивается шестью проекциями (по числу граней). В уравнение = 0войдут только две силы: dP и dP ¢. Сила давления на грань ABCD
Сила давления на грань A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ ,
Определим р ¢. Так как p = f(x, y, z), то при переходе от одной грани к другой давление должно изменяться в зависимости от одной координаты, так как в сходственных точках (A и A ¢, B и B ¢ и т.д.) давление зависит только от изменения одного аргумента x. Аргументы y и z для сходственных точек (А и А ¢) остаются неизменными. Следовательно . Тогда . Сила dP ¢войдет в уравнение проекции со знаком «минус». Проекции объемных сил. Проекция объемной силы dR равна произведению массы на соответствующую проекцию ускорения объемной силы, т.е. ,
Сумма проекций поверхностных и объемных сил на ось Ох равна: . (2.17) После некоторого преобразования и деления на dxdydz (объем параллелепипеда dW) получим уравнение проекций сил на ось Ох, отнесенных к единице объема: . (2.18) Аналогично получим два других уравнения: =0; =0. Таким образом, при равновесии жидкости имеем три дифферен-циальных уравнения: (2.19) Система уравнений (2.19) равновесия жидкости относится как к несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости. Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 417; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.155.216 (0.015 с.) |