Теорема 4 (о размерности пространства решений).

Пусть дана линейная однородная система с  неизвестными, ранг основной матрицы равен . Тогда существует  линейно-независимых решений однородной системы, всякое другое решение есть их линейная комбинация.

Доказательство.

1) Если ранг основной матрицы равен , то  свободных переменных переносятся вправо, тогда можно построить по крайней мере не меньше, чем  линейно-независимых решений, присваивая поочерёдно значение 1 каждой из свободных переменных (а остальным в это время 0).

Существует такая система решений:

 

 

 

 

...

 

Данная система линейно независима, так как объединяя их в матрицу, увидим, что в её последних  столбцах будет минор, устроенный как единичная матрица , т.е. заведомо ненулевой, равный 1. 

2) Докажем, что любое другое решение будет их линейной комбинацией.  Рассмотрим последние  координат произвольного решения.

 Пусть  - решение однородной системы.

Линейная комбинация решений:

  тоже является решением.

Но на последних n-r местах она содержит 0, а числа, отличные от 0 на первых r местах. Но тогда первые r столбцов образовали бы ЛЗС – было бы противоречие. Тогда единственная возможность:  нулевой вектор.

Тогда , то есть новое решение можно представить в виде такой линейной комбинации ранее найденных  решений. 

Таким образом, существует не меньше, но и не больше, чем  различных линейно-независимых решений.

 

Определение. Данная система, состоящая из  линейно-независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы уравнений.

Пример. (, ).   Решить однородную систему:

Решение. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:

Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк.

Итак, получили систему  базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что  свободная переменная, переносим её вправо: . Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные.

Из 2-го: , а подставляя в 1-е, получим

, т.е. .

Общее решение системы: .  

Также записывается в виде вектора: .

Частные решения: , , , и т.д.

То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной.

ФСР (фундаментальная система решений). ФСР состоит из одного вектора .

Ответ. Общее решение , ФСР .

Пример. (, ).  Решить систему уравнений: 

Базисный минор порядка 2 можно найти в левом углу, тогда считаем, что 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. . 

 уже фактически выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить .

.

Общее решение: { , }.

Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.

.

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это  частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения: любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Например, их сумма  также является решением системы.

Примечание. При решении системы в прошлой задаче, со следующей стадии:  может использоваться и метод Крамера.

 = .

 = .

 

* Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа . А для однородной системы справа констант нет (они 0), но туда перенесены свободные переменные. Т.е.  решение методом Гаусса во всех этих 3 параграфах выполняется похожим образом, только справа разные типы объектов.