Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производная по направлению и градиент
Предположим, что в каждой точке А некоторой области D задано значение скалярной физической величины W (темпера- тура, давление, влажность и т. п.). Тогда W называется скаляр- ной функцией точки и записывается так W = W (A). Если в об- ласти D задана скалярная функция точки W (A), то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Если скалярное поле не зависит от времени, оно называ- ется стационарным. В противном случае поле будет нестацио- нарным, т. е. будет зависеть не только от точки А, но и от вре- мени t. В гиперпространстве, в котором задано поле W = W (x 1, x 2, …, x n) возьмем точку А (x 1, x 2, …, x n) и найдем скорость изме- нения функции при движении точки А в направлении некото- рого вектора . Этот вектор начинается в точке А, а косинусы углов между ним и координатными осями Х 1, Х 2, …, Х n (направ- ляющие косинусы) равны: cos 1, cos 2, …, cos n. Приращение W, получаемое при переходе от точки А в точку А 1, по направлению равно: W = W(x 1 + x 1, x 2 + x 2, …, x n + x n) - W(x 1, x 2, …, x n). Тогда Производной от функции W (x 1, x 2, …, x n) в точке А (x 1, x 2, …, x n) по направлению называется предел То есть производная характеризует скорость изменения функции по данному направлению. В курсах математического анализа доказывается (см., на- пример, [9, 42]), что Пример 4.12. Найти производную функции в точке A (0, 1, 2, 1) по направлению к точке A 1(2, 0, 1, 3) Находим направляющие косинусы вектора : cos 1 = 0,632; cos 2 = -0,316; cos 3 = -0,316; cos 4 = 0,632. Далее определяем частные производные исходной функ- ции W и их значения в точке А, т. е.
Затем вычисляем искомую производную по направлению Знак минус говорит о том, что функция в заданном направ- лении убывает.
или , где = (1, 0, …, 0); = (0, 1, …, 0) … = (0, 0, …, 1). Теперь формулу для производной по направлению можно переписать в виде скалярного произведения grad W на единич- ный вектор = (cos 1, cos 2, …, cos n), т. е. или где — угол между вектором grad W и направлением . Из последней формулы видно, что dW / d достигает своего максимального значения в том случае, когда = 0. Поэтому на- правление градиента совпадает с направлением , вдоль кото- рого функция меняется быстрее всего, т. е. grad W показывает
направление скорейшего возрастания функции. А наибольшая скорость изменения функции W в точке А равна: Пример 4.13. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке А (1, 2, -1, 3). Вначале находим частные производные Затем получаем и вычисляем и, нако- нец, находим наибольшую скорость возрастания функции |grad W (A)| = 109,2.
Некоторые приложения дифференциального исчисления Формула Тейлора
(4.1)
(4.2)
Через R n (x) обозначим разность значений данной функции y = f (x)и многочлена, находимого по формуле (4.2), т. е. R n (x) = = f (x) − P n (x).
(4.3)
где R n (x) — остаточный член, который может быть записан в разных формах. Приведем так называемую форму Лагранжа, которая имеет вид: (4.4) Здесь [ x, x 0] и ее можно представить в виде = x 0 + + (x - x 0), где 0 < < 1. Тогда формула для остаточного члена примет вид: А формула
называется формулой Тейлора для функции y = f (x).
(4.6)
Здесь 0 < <1, а формулу (4.6) часто называют формулой Маклорена. Теперь найдем разложение функции y = ex по фор- муле (4.6). f (x) = ex; f (0) = 1; f (x) = ex; f (0) = 1; f (x) = ex; f (0) = 1, …, f (n)(x) = ex; f (n)(0) = 1. Эти данные подставляем в формулу (4.6) и получаем: , где 0 < <1. Если | x | 1, то взяв n = 8, найдем оценку остаточного члена
Здесь верны первые четыре знака после запятой, так как ошибка не превосходит числа или 10-5. Заметим, что какое бы ни было х, остаточный член при n →, т. е.
ложения, по формуле (4.6) получим ex с любой необходимой сте- пенью точности. Правило Лопиталя Данное правило помогает раскрывать неопределенности вида: его суть выражается теоремой. Теорема 4.5 Лопиталя. Пусть функции f (x) и (x) при x → x 0 или x → совместно стремятся к нулю или к бесконеч- ности. Если отношение производных этих функций имеет пре- дел, то отношение самих функций тоже имеет предел, который равен пределу отношения производных, т. е. (4.7)
Теперь рассмотрим конкретные примеры применения это- го правила. Пример 4.14. Ранее мы сводили этот предел ко второму замечательно- му пределу и пользовались тем, что ln x является непрерывной функцией. Заметим, что простота взятия данного предела ка- жущаяся, так как дифференцирование функций само опира- ется на знание пределов.
Пример 4.16.
Заметим, что если производные числителя и знаменателя одновременно стремятся к нулю или к бесконечности можно применять правило Лопиталя еще раз, а в случае необходимос- ти и далее.
Пример 4.19. Формулы (4.7) и (4.8) справедливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный), су- ществует. Приведем пример, когда отношение функций имеет предел, а отношение их производных не стремится ни к какому пределу.
А предел производных равен: При x → этот предел колеблется между 0 и 2 и поэтому не имеет предела. То есть к данному примеру правило Лопита- ля применить нельзя, оно не является универсальным. При помощи правила Лопиталя можно раскрывать другие неопределенности, например: Эти случаи сводятся к рассмотренным нами неопределен- ностям . Рассмотрим некоторые примеры.
Это случай 0 ·.
исходный предел к случаю . Теперь можно применить правило Лопиталя Пример 4.22. т. е., имеем случай −. Исходный предел преобразуем к виду
Пример 4.23.
леднему пределу применимо правило Лопиталя. Поэтому исходный предел Пример 4.24.
Рассмотрим предел , т. е.
пришли к случаю . Теперь к последнему примеру применяем правило Лопиталя Поэтому исходный предел равен
Асимптоты Прямая L называется асимптотой графика функции y = f (x), если расстояние от переменной точки А функции до этой пря- мой при удалении точки А в бесконечность стремится к нулю (рис. 4.5). Рис. 4.5 Различают вертикальные асимптоты (параллельные оси 0 у) и наклонные. Сначала рассмотрим вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если
то прямая x = x 0 является асимптотой функции y = f (x) и на- оборот, если прямая x = x 0 есть асимптота кривой y = f (x), то существуют указанные выше пределы.
Рис. 4.6 Теперь рассмотрим наклонные асимптоты. Предположим, что функция y = f (x) имеет наклонную асимптоту y = ax + b (рис. 4.7). Рис. 4.7 Нам нужно найти коэффициенты a и b. Точка А (х, у) при- надлежит функции y = f (x), а точка В (х, y 1) — асимптоте. Дли- на отрезка АС — это расстояние от точки А до асимптоты и по условию (4.9) Обозначим через угол наклона асимптоты к положитель- ному направлению оси 0 х и из АВС найдем так как и = const, то в силу (4.9) имеем
так как (AB) = | y - y 1| = | f (x) - ax - b |, то (4.10) принимает следу- ющий вид: (4.11) Следовательно, если y = ax + b есть асимптота, то выпол- няется (4.11) и, наоборот, если при коэффициентах a и b выпол- няется (4.11), то прямая y = ax + b является асимптотой. Теперь найдем коэффициенты a и b. Из (4.11) получаем Так как x → +, то а так как b есть число, то , поэтому получаем или (4.12) Получив a, находим b по формуле (4.13) Следовательно, если y = ax + b является асимптотой, то a и b находятся по формулам (4.12) и (4.13). Если хотя бы один из пределов (4.12) или (4.13) не существует, то функция y = f (x) наклонной асимптоты не имеет. Все приведенные рассуждения справедливы и при x → -. Так как асимптотическое изменение функции может быть раз- личным при стремлении х к положительной и отрицательной бесконечности, то надо раздельно рассматривать случаи x → - и x → +. Если существует асимптота в первом случае, то ее на- зывают левосторонней, а во втором случае — правосторонней. Если при x → - и x → + пределы (4.12) и (4.13) совпадают, то левосторонняя и правосторонняя асимптоты являются час- тями одной и той же прямой. Заметим, что если функция дробно-рациональная, то при нахождении a и b сразу можно рассматривать произвольное стремление к бесконечности.
Рассмотрим примеры нахождения наклонных асимптот. Пример 4.25. Так как данная функция дробно-рациональная, то сразу рассматриваем произвольное стремление х к
Пример 4.26. y = 2x + ln x. (по правилу Лопиталя) Из последнего равенства следует, что исходная функция наклонной асимптоты не имеет.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 160; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.146.206.116 (0.075 с.) |