Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Некоторые сведения о векторах
Цифровые данные, используемые в экономике, можно представить в виде списков чисел, каждое из которых имеет определенный смысл. Например, списки цен различных товаров в магазинах, объемы продукции разных видов, выпущенных каким-либо предприятием за год и т. д. В математике такие упорядоченные списки чисел называют векторами. Дадим определение n-мер- ного вектора (n = 1, 2, ….). Упорядоченный набор n чисел x 1, х 2, х 3, …, х n называется n - мерным вектором. Мы будем обозначать векторы заглавными буквами со стрелками над ними, т. е. , числа x 1, х 2, х 3, …, х n есть координаты вектора, а n — его размерность. Два n -мерных вектора называются равными, если их соот- ветствующие координаты равны, например: Вектор, все координаты которого нули, называется ноль- вектором и обозначается . Алгебраической суммой двух n -мерных векторов
называется вектор , каждая координата которого равна алгебраической сумме соответствующих координат векторов и , т. е. (2.21) Произведением действительного числа k на n -мерный век- тор называется n -мерный вектор , каждая координата которого равна произведению числа k на соответс- твующую координату вектора , т. е. (2.22) Множество n -мерных векторов, для которых определе- ны действия алгебраического сложения (2.21) и умножения на число (2.22), называют n -мерным векторным пространством и обозначают Rn (в случае n = 1 оно совпадает с множеством действительных чисел R). В случае n = 2 и n = 3 имеем соответственно двумерное (R 2) и трехмерное (R 3) векторные пространства, а двумерные и трехмерные вектора имеют геометрическую интерпретацию: они изображаются направленными отрезками на плоскости и в пространстве. Пусть в Rn заданы вектора , Приведем свойства линейных действий векторами: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
9) Длина (норма) вектора в пространстве Rn
(2.23)
Например, задан вектор = (5, 3, −2). Используя (2.23) найдем, что его длина равна Введем понятие скалярного произведения в действитель- ном пространстве Rn. Скалярным произведением двух векторов
в R n (х R, у R, ) называется число, получаемое по фор-
i i
(2.24)
где есть угол между n -мерными векторами и (в случае n = 2 и n = 3 будет углом между направленными отрезками на плоскости и в пространстве, а при n > 3 векторы и являются математическими абстракциями).
(2.26)
Пример 2.10. Например, заданы векторы = (2, 3, 7) и = (1, 6, 5) в 3-мерном пространстве R 3. Найти угол между ними. По формуле (2.26) получим ∧
1) (при этом равенство нулю будет только в том случае, если ); 2) 3) Здесь — векторы в Rn, а k и t — действительные числа. Пространство Rn, в котором введено понятие скалярно- го произведения по формуле (2.24), называется евклидовым n -мерным пространством.
Векторное произведение Введем новое действие над векторами — векторное про- изведение. При этом будем считать, что в трехмерном про- странстве задана декартова система координат. Напомним, что декартова прямоугольная система координат в пространс- тве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпенди- кулярных осей, которые пронумерованы в некотором порядке. Точка пересечения осей — это начало координат, а оси — это координатные оси, причем первую называют осью абсцисс (x), вторую — осью ординат (y), а третью — осью аппликат (z). Определение. Векторным произведением вектора на век- тор называется вектор, который обозначается или и определяется следующими условиями: а) , где α — угол между векторами и б) вектор перпендикулярен к каждому из векторов
то вектор должен быть направлен так, чтобы из его кон- ца кратчайший поворот вектора к вектору был соверша- ем против часовой стрелки. Такая тройка векторов называется правой (рис. 2.2).
Рис. 2.2 Приведем свойства векторного произведения: 1. Если и коллинеарные векторы, то их векторное про- изведение равно нулю, т. е. = 0. В данном случае α = 0° или α =180°, а синус α в обоих слу- чаях равен нулю. 2. Если векторное произведение векторов и равно нулю, то они коллинеарны. 3. Если векторы и приведены к общему началу, то мо- дуль векторного произведения равен площади парал- лелограмма, построенного на этих векторах. Из элементарной геометрии известно, что площадь параллелограмма (S) рав- на произведению длин смежных сторон на синус угла между ними, т. е. = S, поэтому имеем = S. Из данного свойства следует, что векторное произведение можно записать в виде: ,
Рис. 2.3 4. Векторное произведение на — это вектор, обратный векторному произведению на, т. е. . 5. Свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю k:
6. Распределительное свойство относительно сложения: , или . Приведем без доказательства теорему, позволяющую на- ходить векторное произведение двух векторов, если заданы их координаты.
= (x 1, y 1, z 1), = (x 2, y 2, z 2), то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой: . (2.28)
(2.29)
где , , — орты координатных осей, т. е. , а их расположение видно из рис. 2.4.
Х Рис. 2.4 Рассмотрим некоторые задачи на применение векторного произведения. Пример 2.11.
рах и . Из элементарной геометрии известно, что . Следовательно, получаем по формуле (2.28)
Пример 2.12. Дано: координаты вершины треугольника АВС: А (4, -14, 8); В (2, -18, 12); С (12, -8, 12). Надо найти длину его высоты, опу- щенной из вершины С на сторону АВ. Обозначим: площадь треугольника АВС через S тр, искомую высоту через h c. Из элементарной геометрии известно, что
где — длина стороны АВ.
,
. Сравнивая обе формулы, получаем или Находим = (-2, -4, 4); = (8, 6, 4); И окончательно получаем
Смешанное произведение Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, которое равно векторному произведению , скалярно умноженному на вектор . Обозначим смешан- ное произведение векторов , , следующим образом. Выполняются следующие равенства . Геометрический смысл смешанного произведения виден из теоремы 2.5. Теорема 2.5. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,, , взятому со знаком плюс, если тройка , , — правая, и со знаком минус, если это тройка левая (в этом случае, если смотреть из конца вектора , кратчайший поворот вектора к вектору осу- ществляется по часовой стрелке).
Если же векторы , , компланарны, т. е. лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, то . Приведем свойства смешанного произведения. 1. , т. е. смешанное произведение не ме- няется при циклической перестановке его сомножителей. 2. ; ; , т. е. смешан- ное произведение меняет свой знак при перестановке местами любых двух векторов-сомножителей.
4. , где k ∈ R, где R — множество действительных чисел.
(2.30)
(2.31)
В формуле (2.31) знак берется одинаковым со знаком опре- делителя. Теперь приведем конкретный пример применения сме- шанного произведения. Пример 2.13. Дано: = (1, 5, 4); = (6, -4, 4); = (10, -1, 10). Надо доказать, что заданные векторы компланарны. Из теоремы 2.5 следует, что если векторы , , компла- нарны, то их смешанное произведение равно нулю, т. е. Далее используем формулу (2.30) и получим
При решении определителя вынесли общие множители третьего столбца и второй строки, затем умножили первую строку на (-3) и сложили со второй. После этого умножили пер- вую строку на (-10) и сложили с третьей, а затем разложили получившийся определитель по элементам первого столбца. После этого вынесли общий множитель второго столбца. Так как при решения определителя мы получили ноль, то доказано, что заданные векторы , , компланарны.
Базис пространства Rn Пусть в пространстве Rn задано n векторов:
Базисом пространства Rn называется любая система из n линейно независимых векторов этого пространства. Любой вектор из пространства Rn единственным образом можно разложить по векторам базиса. Например, вектор мож- но разложить по линейно независимым векторам следующим образом: , где числа p 1, p 2, …, p n —координаты вектора в данном базисе. Заметим, что в пространстве R 2 базис составляют два не- коллинеарных вектора, а в пространстве R 3 — три некомпла- нарных вектора.
, (2.32) В том случае, если хотя бы одно значение k i, в фор- муле (2.32) не равно нулю, система векторов будет линейно зависимой и базиса не составляет. Заметим, что система векторов, которая содержит ноль- вектор, всегда линейно зависима. Перепишем выражение (2.32), поставив вместо векторов их координаты.
. (2.33)
. (2.34)
Полученная система однородных уравнений (2.34) всегда совместна.
, (2.35)
то система (2.34) имеет единственное решение k 1 = k 2 = … = k n = 0, а это значит, что векторы линейно независимы и со- ставляют базис пространства Rn. Пример 2.14. Составлют ли векторы = (1, 0, 0, …, 0); = = (0, 1, 0, …, 0); …; = (0, 0, 0, …, 1) базис пространства Rn?
Видно, что данный определитель не равен нулю, поэтому векторы составляют базис пространства Rn.
.
Из координат векторов составляем определитель (2.35): Вторую строчку мы домножили на (-2) и сложили с первой, а затем полученный определитель разложили по элементам первого столбца. Определитель не равен нулю, поэтому векто- ры составляют базис пространства R 3.
Далее имеем:
Третье уравнение полученной системы умножаем на 3 и складываем со вторым. Тогда получаем: .
И наконец вычислим Таким образом, окончательно получим:
Задачи для самостоятельного решения 1.
1.1.
2.1. 2.2.
3.
3.1. 3.2. 3.3. 4.
4.1. 4.2.
5.1. 5.2.
6.1. 6.2. 6.3.
7. Дано: = (1, −5, 6, 7, 10); = (−2, 7, 8, 11, −6). Найти угол между векторами и . 8. Даны два ортогональных вектора
Найти координату х 2. 9. В трехмерном пространстве заданы три точки М (1; 1; 1); N (2; 2; 2); P (4; 3; 5). Найти площадь треугольника MNP. 10. В трехмерном пространстве заданы четыре точки М (1; 1; 1); N (4; 4; 4); P (3; 5; 5); Q (2; 4; 7). Найти объем тетраэдра MNPQ. 11. Даны векторы = (-4; -8; 8), = (4; 3; 2). Найти их век- торное произведение, синус угла между ними, площадь треу- гольника, построенного на этих векторах. 12. Проверить, что точки М (5; -1; -1); N (4; 2; 2); P (5; 3; 1); Q (8; 0; -5) лежат в одной плоскости. 13. Записать в матрично-векторном виде квадратичные формы: 13.1 f (х, х, х) = 7 x 2 − 3 x 2 − 0,5 x 2 − 5 х х + 17 х х + 22 х х. 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 13.2 f (х, х, х) = -32 x 2 − 0,5 x 2 + 11 x 2 + 92 х х − 66 х х − х х 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
Вопросы для самопроверки 1. Что называется матрицей? Типы матриц. 2. Правило и свойства сложения матриц. 3. Правило и основные свойства перемножения двух матриц. 4. Как найти матрицу, обратную заданной? Любая ли мат- рица имеет обратную? 5. Что называется определителем? 6. Что такое ранг матрицы? 7. Как определить, совместна ли заданная СЛАУ? 8. В каких случаях однородные СЛАУ имеют ненулевые решения? 9. В чем суть итерационных методов решения СЛАУ? 10. В чем состоит метод Гаусса решения СЛАУ? 11. В чем состоит метод Крамера решения СЛАУ? 12. Какие числа называются собственными значениями матрицы? 13. Что такое след матрицы? 14. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы? 15. Дать определение n-мерного векторного пространства. 16. Что называется нормой вектора? 17. Как найти угол между двумя векторами в n-мерном векторном пространстве? 18. Какое n -мерное пространство называется евклидовым? 19. Что называется квадратичной формой? 20. Приведите матрично-векторную запись квадратичной формы. 21. Дать определение векторного произведения. 22. Как находится веторное произведение, если заданы ко- ординаты составляющих его векторов? 23. Дать определение смешанного произведения векторов. Каков его геометрический смысл? 24. Как определить смешанное произведение, если заданы координаты составляющих его векторов?
Глава 3. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-14; просмотров: 90; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.123.23 (0.3 с.) |