![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
При рассмотрении метода Эйлера было показано, что глобальная погрешность приближенного решения совпадает с локальной погрешностью метода – погрешностью аппроксимации дифференциальной задачи. При оценке локальной погрешности стандартной процедурой является следующая. Точное решение дифференциальной задачи подставляется в вычислительную схему, при этом учитывается, что его значение в некоторых узлах (узле) сетки уже известно (из начальных условий либо предыдущих вычислений), а значение решения в других узлах (узле) может быть выражено отрезком степенного ряда, используя исходное дифференциальное уравнение для нахождения соответствующих производных функции. Зная смысл погрешности аппроксимации задачи несложно понять, как взаимосвязана погрешность приближенного решения с погрешностью аппроксимации задачи (локальной ошибкой метода). Общая схема рассуждений такова. Мы имеем некоторый одношаговый численный метод, в котором приближенное решение в каждом новом узле сетки вычисляется с использованием некоторой функции F дискретных аргументов и параметра Если подстановка точного решения дифференциальной задачи в уравнение (1) приводит к тождеству то говорят, что схема (1) аппроксимирует исходное уравнение (0) с порядном Таким образом, происхождение погрешности численного метода можно интерпретировать либо как возмущение исходной дифференциальной задачи, обусловленное появлением в правой части уравнения (2) дополнительного малого слагаемого Анализ погрешности численной схемы ведется на основе уравнения для погрешности
Из ограниченности величины
Заметим, что совпадение локальной и глобальной ошибки одношаговых численных методов следует понимать только в смысле совпадения порядка малости данных величин. В силу этого, если некоторая стандартная программа, реализующая метод Рунге-Кутты, содержит среди входных параметров значение локальной погрешности для оценки требуемых шагов сетки при численном интегрировании задачи, не следует думать, что приближенное решение будет получено именно с такой точностью на произвольном отрезке численного интегрирования. При моделировании длительной динамики решения истинная (глобальная) погрешность приближенного решения может испытывать экспоненциальный рост и существенно отличаться от локальной погрешности. Чтобы убедиться в удовлетворительной точности решения в большинстве случаем достаточно сравнить приближенные решения, полученные на сетках с шагами При оценке погрешности метода Эйлера и методов Рунге-Кутты мы неявно полагали, что сами вычисления производятся точно. На практике, вообще говоря, это не так, поскольку реализация арифметических операций с действительными числами, имеющими компьютерное представление на конечной разрядной сетке, неизбежно ведет к округлению как самих действительных чисел, так результатов арифметических операций с ними. В силу этого, наряду с погрешностью аппроксимации дифференциальной задачи, приближенное решение будет содержать также ошибку, связанную с погрешностями представления и операций с действительными числами. Таким образом, погрешность приближенного решения дифференциальной задачи будет состоять из погрешности дискретизации задачи и вычислительной ошибки. Идентифицировать вычислительную погрешность численной схемы и оценить ее величину, для методов, обладающих сходимостью при
При численном решении задачи Коши обычно предпочтение отдают одношаговым методам, которые обладают устойчивостью вычислений, возможностью легко менять шаг сетки и отсутствием предварительного построения начала таблицы.
3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм Для оценки погрешности (разности векторов точного и приближенного решений) используются различные нормы линейного векторного пространства. Напомним, что нормой вектора 1. 2. 3. Векторные нормы, получившие наиболее широкое распространение в численном анализе:
Т.к. для матриц определена операция умножения, то естественно добавить требовавание Матричная норма называется согласованной, если Определение. Норма матрицы В случае квадратных матриц из определения подчиненной матричной нормы следует ее согласованность, мультипликативность и минимальность среди всех возможных согласованных норм. Подчиненные матричные нормы для приведенных выше основных векторных норм вычисляются следующим образом.
Выбор конкретной нормы для получения оценок приближенного решения определяется в основном целью исследований и спецификой задачи. При этом следует иметь в виду, что нормы конечномерного линейного векторного пространства эквивалентны с точностью до постоянного множителя.
Норма Например, для норм
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 264; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.12.192 (0.01 с.) |