Уравнение сохранения энергии для стационарного поточного процесса

 

Большое значение в газовой динамике имеет закон сохранения энергии. Он, как известно, констатирует тот факт, что

энергия не возникает и не исчезает, а только превращается

из одного вида в другой.

Следовательно, составив баланс энергии для какого-нибудь количества газа, например, для единицы массы, можно найти соотношение между различными составляющими энергии. Такая математическая запись энергетического баланса и представляет собой уравнение энергии.

       Составление баланса энергии рассмотрим на примере газотурбинной установки, схема которой изображена на рисунке 6. Баланс энергии можно составить и для любой другой схемы течения. Пример с газотурбинной установкой взят потому, что в нем присутствуют все составляющие энергетического баланса, рассматриваемые в большинстве подобных газодина­ми­ческих задач. Кроме того, это типичный пример так называемого поточного процесса. Конечно же реальный процесс течения газа в газотурбинной установке не является стационарным в полном смысле этого понятия, но  при известной степени идеализации в контексте решаемой задачи он вполне может рассматриваться как «квазистационарный».

Через входное сечение 1 воздух из атмосферы поступает в компрессор, где сжимается и подается в камеру сгорания. Туда же, в камеру сгорания, поступает жидкое топливо, которое, смешавшись с воздухом, сгорает, выделяя большое количество тепла. Таким образом, в турбину из камеры сгорания поступают образовавшиеся там продукты сгорания с высокой температурой и высоким давлением. В турбине они расширяются, производя работу — вращая ротор. Часть работы турбины при помощи вала передается на вращение компрессора, другая часть отдается потребителю. Отработанные газы покидают турбину, выходя через сечение 2.

 

 

Параметры воздуха  на входе в газотурбинную установку - T ₁, p ₁, ρ ₁,_, w _1;

на входе - Т₂, p ₂, ρ ₂, w ₂.

Энергия поступающего воздуха, отнесенная к единице массы, обозначена Е₁ , энергия выходящего газа — Е₂.

  Подведенное тепло обозначено Q_е. Индекс «е» означает, что тепло подводилось извне (externus – лат. внешний, посторонний).

Здесь нет никакого противоречия: несмотря на то, что сгорание происходило внутри камеры и тепло, подогревающее газ, выделялось именно там, энергия эта была внесена снаружи в скрытом виде, вместе с топливом. Следовательно, поскольку не ставится задача изучения физико-химических процессов горения, а рассматриваются только явления газодинамического характера, то можно считать, что тепло в количестве Q_е было внесено в камеру сгорания снаружи.

Работа на валу установки, отданная потребителю, обозначена L. Она также отнесена к единице массы проходящего через установку воздуха.

 

На рисунке 7 изображена упрощенная схема течения. На расчетном участке между сечениями 1 и 2, так же как и в предыдущем случае, подводится тепло и отводится механическая работа. Следовательно, для упрощенной схемы баланс энергии будет таким же, как и для газотурбинной установки, но пользоваться этой схемой проще и удобнее.

 

 

Баланс энергии для рассматриваемой схемы течения можно записать следующим уравнением:

Е₁ - Е₂ + Q_е - L = 0.                         (2.1)

 

Далее необходимо расшифровать, что подразумевается под полным запасом энергии единицы массы газа Е. При этом нужно иметь в виду, что в «полный запас энергии» нет надобности включать все ее составляющие (например, химическую, электрическую, внутриядерную); вполне достаточно принимать в расчет только те ее виды, которые могут превращаться один в другой в пределах изучаемых газодинамических задач. Тогда можно записать, что

 

E = u + p / ρ + w ² /2 + gz,                        (2.2)

 

где u – внутренняя энергия единицы массы газа;

p/ρ – потенциальная энергия давления единицы массы газа;

w ² /2  – кинетическая энергия единицы массы газа;

gz– потенциальная энергия положения (уровня) единицы массы газа;

z – геометрическая высота;

g – ускорение силы тяжести.

Все указанные величины измеряются в единицах работы на единицу массы, а именно в дж/кг или, что то же самое, в м²/сек² (в системе СИ).

Подставив в уравнение (2.1) значения Е₁ и Е₂, выраженные с помощью уравнения (2.2), и учитывая, что разность внутренних энергий u₁ – u₂ = C _v (T ₁ -Т₂), получим

 

C_v (T ₁ -Т₂) + p ₁ / ρ ₁ - p ₂ / ρ ₂ +(w ₁ ² - w ₂ ²) /2+g(z₁-z₂) +Q_е-L= 0.     (2.3)

 

Это и есть уравнение энергии для одномерного потока или для элементарной струйки. Оно показывает, как происходит изменение внутренней энергии C _v (T ₁ -Т₂), потенциальной энергии давления p ₁ / ρ ₁ - p ₂ / ρ ₂ , кинетической энергии (w ₁ ² - w ₂ ²) /2, потенциальной энергии положения g (z₁-z₂) в результате действия подведенного извне тепла Q_е и работы L, отданной газом внешнему потребителю. Изменение внутренней энергии связано с изменением температуры газа, кинетической энергии — с изменением скорости потока, потенциальной энергии уровня — с изменением высоты положения рассматриваемой массы газа над плоскостью, принятой за начало отсчета. Что касается изменения потенциальной энергии давления, то оно требует специальных разъяснений.

На рисунке 8 изображен расчетный участок потока, ограниченный на входе сечением 1 и на выходе — сечением 2.

При входе газа через сечение 1 силы внешнего давления р₁F₁, вталкивая в расчетный, участок объем газа F₁Δx₁, совершают работу p₁F₁Δx₁.

При выходе из расчетного участка, через сечение 2 объем газа F₂Δx₂ совершает работу против сил внешнего давления p₂F₂Δх₂. Поделив эти работы на массу газа в соответствующих объемах, получим

L _вт = p ₁ F ₁ Δ x ₁ / ρ₁ F ₁ Δ x ₁ = p ₁ / ρ ₁ ,

L _выт = p ₂ F ₂ Δ x ₂ / ρ₂ F ₂ Δ x ₂ = p ₂ / ρ _2.

Следовательно, p ₁ / ρ ₁ - p ₂ / ρ ₂ = L _вт - L _выт представляет собой разницу работ вталкивания и выталкивания единицы массы газа. Эта величина характеризует накопление (если p ₁ / ρ ₁ > p ₂ / ρ ₂) потенциальной энергии давления или расходование ее (если p ₁ / ρ ₁ < p ₂ / ρ ₂ ) потоком газа, находящимся внутри расчетного участка.

Изменение потенциальной энергии уровня g(z₁-z₂) в задачах, связанных с расчетом теплоэнергетических машин или установок, как правило, составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с другими членами уравнения энергии. Оно обычно не превышает 50…100 м²/сек², тогда как другие члены имеют порядок 10 000…100 000 м²/сек². Поэтому во всех дальнейших рассуждениях и расчетах величина g(z₁-z₂) будет отброшена. Однако, нужно обратить внимание на задачи такого рода, как расчет вентиляционных систем шахт, в которых изменение потенциальной энергии уровня весьма велико и может превышать значения других членов уравнения энергии. В этих случаях величина g(z₁-z₂) должна учитываться обязательно.

Уравнению энергии можно придать другую, во многих случаях более удобную  для расчетов форму. Преобразуем сумму членов

C_v (T ₁ -Т₂) + p ₁ / ρ ₁ - p ₂ / ρ ₂ = (C_vT ₁ + p ₁ / ρ ₁) -(C_vT ₂ + p ₂ / ρ ₂)=

=(C_vT ₁ + RT ₁) -(C_vT ₂ + RT ₂)= (C_v + R)(T ₁ -Т₂) = C_p (T ₁ -Т₂),

 

используя известное из термодинамики соотношение C_p – C_v =R, и подставим полученное выражение в уравнение (2.3). Тогда уравнение энергии можно записать более компактно

 

C_p (T ₁ -Т₂) + (w ₁ ² - w ₂ ²) /2 + Q_е - L = 0, (2.4)

 

а главное, три термодинамических параметра p, ρ и T   теперь можно заменить всего лишь одним – энтальпией h = C _р Т. («Три в одном»!)

 

h ₁ - h ₂ + (w ₁ ² - w ₂ ²) /2 + Q_е - L = 0.                      (2.5)

 

Этот вид уравнения энергии называют еще уравнением энтальпии или теплосодержания, так как в него входит энтальпия h.

В уравнении энергии принято следующее правило знаков. Подведенное внешнее тепло считается положительным, а отведенное — отрицательным; работа, совершенная газом и отведенная к внешнему потребителю, — положительной, а подведенная к газу извне и затраченная на его сжатие — отрицательной.  Таким образом, в нагревателе газа (камере сгорания) тепло считается положительным, в охладителе — отрицательным; работа, получаемая в турбине, — положительной, а затрачиваемая на вращение компрессора — отрицательной. Это правило знаков согласуется с уравнением первого закона термодинамики.

Уравнение энергии часто применяется в дифференциальной форме. Чтобы получить его в этой форме, воспользуемся таким приемом. Будем мысленно приближать второе сечение к первому, уменьшая длину расчетного участка до бесконечно малой величины. Тогда в пределе получим  вместо   Q_е и L   соответственно dQ_е и dL,    авместо конечных разностей Т₁–Т₂ и (w ₁ ² - w ₂ ²) /2  получим соответствующие дифференциалы – dТ и – d(w ² /2).

 В последних двух выражениях знак минус появился потому, что берутся бесконечно малые разности T ₁ —Т₂  и (w ₁ ² - w ₂ ²) /2, а не T ₂ —Т₁  и   (w ₂ ² - w ₁ ²) /2.

 

Подставив это в уравнение энергии (2.4) и поменяв знаки на обратные, получим уравнение энергии в дифференциальной форме или дифференциальное уравнение энергии

 

C_pdT + d(w²/2) - dQ _е + dL = 0.                    (2.6)

 

***

Если сопоставить выражение для полного запаса энергии (2.2)

E = u + p / ρ + w ² /2 + gz,                                 

 

 с левой частью уравнения Бернулли, которая также представляет величину полного запаса энергии единицы массы несжимаемой жидкости

p/ρ + w²/2 + gz = const,

                                              

то можно заметить, что в случае газа дополнительно введена величина внутренней энергии u. Это объясняется тем, что при ρ≠соnst тепловые процессы оказывают влияние на плотность газа, и так как его расширение или сжатие связано с работой, то в конечном итоге это влияние распространяется на механические составляющие энергии. Таким образом, в уравнениях энергии (2.4) и (2.5) присутствуют величины, имеющие как механическое, так и тепловое  (калорическое) происхождение.

 

& [ 1 ] с.11…19. [ 3 ] с.31…36. [ 4 ] с.53..54.

Уравнение Бернулли

 

Еще одной разновидностью уравнения энергии является обобщенное уравнение Бернулли для газа [5]. От уравнений (2.4) или (2.5) оно отличается тем, что все входящие в него слагаемые имеют механическое происхождение. Это уравнение можно получить следующим путем.       Воспользуемся тем же самым приемом, с помощью которого выше было получено дифференциальное уравнение энергии (2.6) и представим уравнение (2.3) в дифференциальном виде:

C_vdT + d (p / ρ) + d (w ² /2) - dQ _е + dL = 0.   (2.7)

 

Количество тепла Q, воспринимаемое газом, и количество тепла Q_е, подводимое к нему извне, в общем случае не одинаковы: существует еще тепло трения Q _r, которое выделяется вследствие трения газа о стенки, внутреннего трения (возникающего между слоями, движущимися с разными скоростями), образования вихрей и т.п. Это тепло также воспринимается газом. Поэтому

Q = Q_е + Q_r = Q_е + L_r.                (2.8)

Тогда               

dQ_е = dQ – dL_r,                            (2.9)

 

где L_r   — работа трения (в системе единиц СИ Q_r=L_r).

Количество тепла, воспринимаемое газом, можно определить с помощью уравнения первого закона термодинамики

dQ = C_vdT + pdv.                           (2.10)

 

Подставив это выражение в формулу (2.9), получим

C_vdT = dQ_e + dL_r - pdv.               (2.11)

 

Кроме того,

d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/.                               (2.12)

 

После подстановки формул (2.11) и (2.12) в уравнение энергии (2.7) и замены удельного объема через плотность v =1/ρ получаем уравнение Бернулли для газа в дифференциальной форме

dp/ρ+d(w²/2)+dL+dL_r=0.                               (2.13)

 

 

При решении конкретных задач уравнение Бернулли интегрируют в пределах от начального сечения расчетного участка до конечного

 

₁ ² ∫(dp/ρ)+ (w₂ ² - w₁ ²) /2   + L+ L_r=0.        (2.14)

 

Если в процессе решения нужно получить параметры потока в каком-нибудь промежуточном сечении расчетного участка, то при интегрировании это сечение принимается за конечное. При решении можно брать неопределенный интеграл. Константа интегрирования определяется тогда из граничных условий, в качестве которых обычно берут условия на входе в расчетный участок.

Для того чтобы вычислить ∫(dp / ρ), надо знать зависимость между р и ρ, т.е. иметь уравнение термодинамического процесса, при котором происходит течение газа, например уравнение политропы p /ρ ⁿ = const. Если известен термодинамический процесс, то известен и показатель политропы. При политропном процессе интегрирование дает

 

         (2.15)

при изотермном процессе (n=1)

₁ ² ∫(dp/ρ)=(p₁/ρ₁)ℓn(p₂/p₁)=RT₁ℓn(p₂/p₁).            (2.16)

 

Сопоставляя между собой уравнение энергии и уравнение Бернулли, например (2.4) и (2.14), можно заметить, что первое учитывает внешнее тепло, но не содержит работы трения в явном виде, тогда как второе не содержит в явном виде внешнего тепла, но учитывает работу трения. Поэтому создается впечатление, что эти уравнения не учитывают всех особенностей течения. В действительности это не так. Хотя работа трения и не входит явно в уравнение энергии, но ее влияние сказывается, прежде всего, на температуре Т₂.

Что касается уравнения Бернулли, то в нем внешнее тепло учитывается при вычислении ∫(dp / ρ), а именно, от количества подведенного тепла зависит величина показателя политропы n.

 

& [ 1 ] с.24…34. [ 3 ] с.31…36. [ 4 ] с.39..42. [ 5 ] с.412…415.

& [ 6 ] с.130…133. [ 7 ] с.47…48. [ 8 ] с.93…94.

 

 

Рассмотрим уравнения энергии для частных случаев течения газа.