Теплопровідності та тепловіддачі методом регулярного режиму

Мета роботи: вивчення нестаціонарних процесів теплопровідності і методики експериментального визначення коефіцієнтів температуропроводності, теплопровідності і тепловіддачі методом регулярного теплового режиму.

Короткі відомості з теорії

Методи нестаціонарної теплопровідності базуються на рішеннях диференціального рівняння теплопровідності

                                     ,                       (2.1)

отриманих для тіл простої геометричної форми і визначених граничних умов, де – коефіцієнт температуропровідності, м²/с.

Метод регулярного режиму першого родувитікає з аналізу розв’язання диференціального рівняння нестаціонарної теплопровідності (2.1) відносно температури при граничних умовах третього роду

                                  ,                           (2.2)

і дотриманні сталості коефіцієнта тепловіддачі  і температури навколишнього середовища .

У цьому випадку зміна безрозмірної температури  у часі для будь-якої точки тіла, що має форму необмеженої пластини, циліндра або кулі, виражається нескінченним рядом

                            ,                    (2.3)

де  – початкова температура тіла, ^оС;  – сталі, які визначаються з початкових умов; – функції координат; – сталі, які визначаються з граничних умов;  – критерій Фур’є, який характеризує безрозмірний час; критерій  ( – характерний розмір тіла) отримують приведенням (2.1) до безрозмірного виду [1].

У початковий момент часу на температурне поле впливають усі члени ряду (2.3). Це перший період охолодження (нагрівання), який називають невпорядкованою стадією (перша стадія на рис. 2.1). На цій стадії розподіл температури у тілі головним чином визначається його початковим тепловим станом.

Однак по закінченню деякого моменту часу, що визначається числом , усі члени ряду (2.3) стають малими у порівнянні з першим і розподіл температур у часі описується тільки першим членом ряду експоненціальним законом

                                 ,                          (2.4)

де , а стала  називається темпом охолодження тіла і вимірюється у с^-1:

                                             .                                   (2.5)

Це друга стадія охолодження (див. рис. 2.1), при якій розподіл температури не залежить від початкового теплового стану тіла, а визначається його фізичними властивостями, геометричною формою і розмірами, а також умовами теплообміну з навколишнім середовищем. Такий тепловий стан називають регулярним режимом. З рівняння (2.4) витікає, що при регулярному режимі натуральний логарифм надлишкової температури  у будь-якій точці тіла змінюється у часі за лінійним законом

                                  .                               (2.6)

Темп охолодження залишається постійним на ділянці регулярного режиму (не залежить від координат і часу) і може бути визначений як тангенс кута нахилу прямої (див. рис. 2.1)

                                                   .                               (2.7)

Розрахункові точки 1 і 2 беруться на лінійній ділянці графіка у області регулярного режиму.

Після диференціювання рівняння (2.6) у часі, отримаємо

,

тобто темп охолодження характеризує відносну швидкість зміни надлишкової температури у часі.

Темп охолодження залежить від фізичних властивостей тіла, його геометричної форми і розмірів, а також умов теплообміну на поверхні тіла. Ця залежність може бути знайдена з рівняння теплового балансу

,                            (2.8)

де  – середня за об’ємом тіла надлишкова температура, ^оС;  – середня надлишкова температура поверхні тіла у даний момент часу, ^оС;  – густина тіла, кг/м³; – питома теплоємність тіла, Дж/(кг·К);  – об’єм тіла, м³;  – середній в процесі охолодження (нагріву) коефіцієнт тепловіддачі, Вт/(м²·К); – площа поверхні тіла, м²;  – час, с.

Якщо розділити рівняння (2.8) на , а відношення  позначити , отримаємо

                                               ,                           (2.9)

де  – коефіцієнт нерівномірності температурного поля.

З (2.9) витікає, що темп охолодження пропорційний коефіцієнту тепловіддачі, площі поверхні тіла і обернено пропорційний повній теплоємності тіла  (перша теорема Г. М. Кондратьєва).

Значення коефіцієнта  лежить у межах  і визначається умовами охолодження на поверхні тіла. Визначення цього коефіцієнта у ряді випадків викликає труднощі, тому при постановці експерименту намагаються забезпечити умови, при яких . Ці умови мають місце, коли термічний опір тіла /  малий у порівнянні з термічним опором тепловіддачі 1/ . У цьому випадку весь термічний перепад зосереджений у примежовому шарі рідини, що оточує тіло, а температура тіла вирівнюється, тобто  і . Відношення зазначених термічних опорів характеризується критерієм Біо (критерій Біо отримують приведенням (2.2) до безрозмірного виду)

,

а тому умови, при яких , здійснюються при ( практично при ). Ці умови відповідають зовнішній задачі, коли процес охолодження і нагрівання тіла визначається інтенсивністю тепловіддачі на поверхні. При цьому процес вирівнювання температури у тілі відбувається значно інтенсивніше, ніж відведення теплоти з поверхні (рис. 2.2, а). Таким чином, при , у відповідності до (2.9), темп охолодження пропорційний коефіцієнту тепловіддачі

                                             ,                                    (2.10)

де  – сталий коефіцієнт, який залежить від матеріалу і форми тіла. Залежність темпу охолодження від коефіцієнта тепловіддачі має асимптотичний характер, бо із зростанням значення  зростає і критерій ,що у свою чергу призводить до зменшення . У граничному випадку при ,   і  наближається до кінцевої величини  (рис. 2.3).

Регулярний режим дозволяє визначати теплофізичні властивості речовин. Зокрема, він широко використовується для визначення коефіцієнта температуропроводності , який, у відповідності до рівняння (2.5), при  ( ) пропорційний темпу охолодження  (при ) (друга теорема Г. М. Кондратьєва)

                                            .                                   (2.11)

Коефіцієнт К, м², залежить від форми і розмірів тіла і може бути обчислений для тіл простої форми. Так, наприклад, для кулі радіусом .

Умова   (практично > 100) відповідає внутрішній задачі, коли процес охолодження визначається тільки розмірами тіла і його фізичними властивостями. Внаслідок великої інтенсивності теплообміну температура на поверхні тіла приймає постійне значення, що дорівнює температурі оточуючого середовища (рис. 2.2, б).

 На практиці неможливо виконати умову   і визначити . Однак у силу асимптотичного характеру зміни  (див. рис. 2.3) можна оцінити точність експериментального визначення величини  при кінцевих значеннях . Якщо задовольнитися точністю 3,5 %, необхідно забезпечити умови проведення експерименту, при яких   [2].

У випадку, якщо   температурні криві у будь-який момент часу мають вид, як показано на рис. 2.2, в. У цьому випадку інтенсивність процесу охолодження (нагрівання) визначається як внутрішнім, так і зовнішнім термічним опором.

Залежність (2.10) також дозволяє використати закономірності регулярного режиму першого роду для експериментального визначення коефіцієнтів тепловіддачі [2, 4, 5].

До вад методу регулярного режимуслід віднести труднощі реалізації граничних умов, прийнятих у теорії.