Принятие решений в финансовых операциях со сложными процентами

Начисление сложных годовых процентов. Переменные процентные ставки сложных процентов Номинальная и эффективная годовые процентные ставки.

 

Примеры решения типовых задач

 

Пример 8. Начисление сложных годовых процентов

Сумма  рублей инвестирована на три года под  сложных годовых процентов.

1. Найти наращенную сумму к концу периода.

2. Каковы сложные проценты за весь срок ссуды?

3. Во сколько раз выросла первоначальная сумма к концу срока инвестирования?

Решение

По условию задачи, , , .

1. Вычислим величину наращенной суммы за три года по сложным процентам:  руб.

2. Сложные проценты за весь срок ссуды найдем как разность  руб.

3. Множитель наращения по сложным процентам равен  и показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма инвестиций  руб. к концу срока.

Ответ. 1. 26500, 280900, 297754 руб. 2. 297754 руб. 3. 47754 руб. 4. 1,191016.

Пример 9.  рублей положены на банковский счет на  месяца по ставке % в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.

Решение

Обозначим , , , тогда

Пример 10. Сумма  рублей положена на банковский счет сроком на  дней по ставке % в год. Найти наращенную сумму по сложным процентам.

Решение

Воспользуемся формулой  при , , , . Тогда

Пример 11. Переменные процентные ставки сложных процентов

Вклад на сумму  тыс. руб. был положен в банк на условиях: в первый год сложная процентная ставка равна  годовых, а каждые последующие полгода ставка повышается на . Найти наращенную сумму за два года.

Решение

Введем обозначения: ,  (год),  (лет),  (лет), , , . Наращенная сумма за два года составит:

Если же в течение двух лет сложные годовые проценты начисляются по ставке

,

или  годовых, то получится такая же величина наращенной суммы. Проверка:  тыс. руб.

Пример 12. Номинальная годовые процентная ставка

Кредит размером  рублей выдан под сложные проценты на полтора года по ежемесячной ставке сложных процентов %. Найдите полную сумму долга к концу срока.

Решение

По условию задачи ,  (месяцев в году),  (месячная ставка),  года. Тогда получим:

Пример 13. Вклад на сумму  тыс. руб. был положен в банк под  годовых. Найти наращенную сумму за год, применяя начисление процентов: 1) один раз в году; 2) по полугодиям; 3) поквартально; 4) помесячно. Сравнить результаты и сделать вывод.

Решение

Во всех случаях  (год).

1) При начислении процентов один раз в году количество периодов наращения в году , а процентная ставка равна . Тогда  тыс. руб.

2) При начислении процентов два раза в год количество периодов наращения в году , полугодовая процентная ставка . Тогда  тыс. руб.

3) При начислении процентов поквартально количество периодов наращения в году , квартальная процентная ставка . Тогда

 тыс. руб.

4) При начислении процентов ежемесячно количество периодов наращения в году , квартальная процентная ставка  Тогда

 тыс. руб.

Ответ: 1)  тыс. руб.; 2)  тыс. руб .; 3)  тыс. руб.; 4)  тыс. руб. Процесс наращения идет тем быстрее, чем чаще начисляются сложные проценты.

Пример 14. Эффективная годовая процентная ставка

Предприниматель может получить ссуду: 1) или на условиях поквартального начисления процентов из расчета  годовых, 2) или на условиях полугодового начисления процентов из расчета  годовых. Какой вариант лучше выбрать?

Решение

Найдем эффективные годовые процентные ставки для каждого варианта и сравним их: чем она ниже, тем для заемщика вариант предпочтительнее. Для первого варианта получим: . Для второго варианта найдем: . Так как , значит, первый вариант предпочтительнее для заемщика.

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 16. На срочный вклад в банке зачислено  долларов по ставке  годовых. Найдите накопленные на счете суммы через , ,  и  лет при условии начисления: а) простых и б) сложных процентов.

Задача 17. В банк внесен вклад  руб. на три года. Какова ставка сложных процентов, если через три года на счете вкладчика оказалось  руб.?

Задача 18. Какую сумму  следует положить в банк, выплачивающий  в год (сложные проценты), чтобы через срок  получить сумму, не меньшую  руб.? (Считать каждый месяц по 30 дней, а год - 360 дней).

а) ,  года,  месяца и  дней,  руб.,

Задача 19. По облигации номиналом  рублей, выпущенной на  лет, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: в первый год – , в два последующих года – , а в оставшиеся  года – . Рассчитайте будущую (наращенную) стоимость облигации по сложным процентам.

Задача 20. По договору зафиксирован платеж через  года в размере  ден. ед. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно: тому, кому будут платить, или тому, кто будет платить? Как зависит ответ от величины процентной ставки?

Задача 21. Найдите итоговую (наращенную) сумму, если  рублей накапливают проценты в течение 15 лет и 3 месяцев при выплате  поквартально.

Задача 22. Банк предлагает долгосрочные кредиты под  годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов,  годовых - с полугодовым начислением сложных процентов и  годовых - с ежемесячным начислением сложных процентов. Определите наиболее выгодный для банка вариант кредитования.

Задача 23. Банк предлагал краткосрочные кредиты на условиях либо  годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо  с годовым начислением процентов. Проведите выбор оптимального варианта операции, если выплата процентов происходит одновременно с погашением кредита.

Задача 24. Найдите годовую эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке  при поквартальном начислении процентов.

Задача 25. Найдите годовую номинальную норму, конвертируемую поквартально, соответствующую эффективной ставке .

Задача 26. Сумма денег инвестируется при номинальной ставке  на один год. Какая номинальная ставка  накопила бы такую же сумму в конце года?